—2.10—

Теорема Брауэра – первый важный результат в серии топологических теорем о неподвижной точке. Мы выведем из неё другую более общую теорему о неподвижной точке. Для этого введём множественнозначные отображения. Пусть \(\Phi: S \to 2^S\) – отображение, которое ставит каждой точке \(x \in S \subset \mathbb{R}^r\) в соответствие подмножество \(\Phi(x) \subset S\). В случае, когда все образы \(\Phi(x)\) состоят из одного элемента, отображение \(\Phi\) определяет обычное отображение \(S \to S\). В этом смысле множественнозначные отображения обобщают обычные. Множественнозначное отображение \(\Phi\) называется замкнутым, если “предельная точка образов принадлежит образу предельной точки”; формально, для любых сходящихся в \(S\) последовательностей \(x_i \to x\), \(y_i \to y\), таких что \(y_i \in \Phi(x_i)\), выполнено \(y \in \Phi(x)\). Это понятие обобщает понятие непрерывности обычных отображений. Точка \(x \in S\) называется неподвижной, если \(x \in \Phi(x)\).

Теорема [Kakutani, 1941]. Пусть \(\Phi : S \to 2^S\) множественнозначное отображение выпуклого компакта \(S \subset \mathbb{R}^r\), такое что образы точек непустые и выпуклые, а отображение замкнуто. Тогда существует неподвижная точка \(x \in S, x \in \Phi(x)\).

Доказательство. Ясно, что эта теорема прямо обобщает теорему Брауэра. Идея доказательства ниже состоит в том, что мы будем приближать \(\Phi\) обычными непрерывными отображениями, применять для них теорему Брауэра, а затем осуществим предельный переход.

Без потери общности можно доказывать теорему для случая, когда \(S\) – \(r\)-мерный вероятностный симплекс в \(\mathbb{r+1}\). Поясню, почему. Если \(S\) – произвольный выпуклый компакт, то мы можем вложить его в большой симплекс \(S’\), и рассмотреть отображение ортогонального проектирования \(p : S’ \to S\). Затем мы доопределяем \(\Phi\) на \(S’\) по формуле \(\Phi(x) := \Phi(p(x))\), замкнутость и выпуклость образов сохраняется, и неподвижная точка такого отображения будет лежать в \(S\).

Итак, пусть теперь \(S = \{(x_0, \ldots, x_r) \in \mathbb{R}^{r+1}: x_i \ge 0, \sum x_i = 1\}\). Раздробим \(S\) на мелкие симплексы. Мы сейчас построим кусочно-линейное отображение \(\varphi_1 : S \to S\), которое, грубо говоря, приближает отображение \(\Phi\) на нашем масштабе измельчения. Для каждой вершины \(v\) разбиения определим \(\varphi_1(v)\) как произвольный элемент из \(\Phi(v)\). Затем доопределим \(\varphi_1\) по линейности. Мы получим непрерывное отображение \(S\) в себя, по теореме Брауэра у него есть неподвижная точка \(x_1\). Если она лежит в малом симплексе разбиения в вершинами \(x_{1,0}, \ldots, x_{1,r}\), то мы можем записать \(x_1\) в виде выпуклой комбинации \(x_1 = \lambda_{1,0} x_{1,0} + \ldots + \lambda_{1,r} x_{1,r}\).

Раздробим \(S\) ещё мельче, и аналогично найдём неподвижную точку \(x_2 = \lambda_{2,0} x_{2,0} + \ldots + \lambda_{2,r} x_{2,r}\) кусочно-линейной аппроксимации \(\varphi_2\). Продолжим измельчать, аппроксимировать \(\Phi\) и применять теорему Брауэра, так что получим последовательность неподвижных точек отображений-аппроксимаций \(x_i = \lambda_{i,0} x_{i,0} + \ldots + \lambda_{i,r} x_{i,r}\). Из соображений компактности можно проредить последовательность, так что \(x_i \to x\). Так как подразбиение на симплексы всё более мелкое, то \(x_{i,0} \to x, \ldots x_{i,r} \to x\). Прореживая дополнительно, мы можем полагать, что \(\lambda_{i,0} \to \lambda_0\), \(\ldots\), \(\lambda_{i,r} \to \lambda_r\), \(\varphi_i(x_{i,0}) \to y_0\), \(\ldots\), \(\varphi_i(x_{i,r}) \to y_r\). Из замкнутости \(\Phi\) следует, что \(y_0, \ldots, y_r \in \Phi(x)\). Из выпуклости \(\Phi(x)\) тогда заключаем, что \(x = \lambda_0 y_0 + \ldots + \lambda_r y_r \in \Phi(x)\). \(\square\)

—2.11—

В качестве приложения выведем уже знакомую нам теорему фон Неймана о минимаксе.

Теорема [von Neumann revisited]. Пусть функция \(h(x,y)\) двух векторных аргументов определена на произведении \(K \times L\) выпуклых компактов. Пусть \(h\) квазивогнута по \(x\), квазивыпукла по \(y\), и непрерывна по совокупности аргументов. Тогда \[ \max_{x} \min_{y} h(x,y) = \min_{y} \max_{x} h(x,y). \]

Вывод из теоремы Какутани. Для каждого \(x \in K\) положим \[ L_x = \{y \in L ~|~ h(x,y) = \min_{\eta \in L} h(x,\eta)\}. \] Аналогично, для каждого \(y \in L\) положим \[ K_y = \{x \in K ~|~ h(x,y) = \min_{\xi \in K} h(\xi,y)\}. \] Определим множественнозначное отображение \(\Phi: K\times L \to 2^{K\times L}\) так: \[ \Phi(x,y) = K_y \times L_x. \] Легко проверить, что отображение \(\Phi\) удовлетворяет условиям теоремы Какутани, и, значит, имеет неподвижную точку. Эта точка является седловой точкой функции \(h\). \(\square\)

—2.12—

Теорема Какутани наиболее известна своими приложениями в матэкономике. Самое популярное из них – существование равновесий Нэша; за этот результат Джон Нэш получил нобелевскую премию по экономике.

Постановка задачи такая. Рассматривается конечная игра двух игроков. Два игрока независимо друг от друга поставлены в некую ситуацию, и каждый из них имеет несколько вариантов поведения. После того, как игроки определились со стратегиями поведения (не зная, как поведёт себя соперник), вычисляются выигрыши обоих игроков. Пусть \(S^{(k)}\) – конечное множество (чистых) стратегий игрока \(k\), \(k = 1,2,\), а \(u^{(k)} : S^{(1)} \times S^{(2)} \to \mathbb{R}\) – функция выигрыша (функция полезности) игрока \(k\). Пара стратегий \((\bar s^{(1)},\bar s^{(2)})\) называется равновесием Нэша в чистых стратегиях, если ни одному из игроков не выгодно менять стратегию \(\bar s^{(k)}\) на другую. Формально, должны выполняться неравенства \[ u^{(1)}(\bar s^{(1)}, \bar s^{(2)}) \ge u^{(1)}(s^{(1)}, \bar s^{(2)}) \quad \forall s^{(1)} \in S^{(1)}; \] \[ u^{(2)}(\bar s^{(1)}, \bar s^{(2)}) \ge u^{(2)}(\bar s^{(1)}, s^{(2)}) \quad \forall s^{(2)} \in S^{(2)}. \] Недостаток равновесия в чистых стратегиях – его может не существовать (придумайте пример!). Однако мы можем ввести элемент недетерминированности в нашу постановку: пусть игроки выбирают стратегии вероятностным образом. Смешанная стратегия игрока \(k\) определяется как вероятностное распределение \(\mu^{(k)}\) на множестве \(S^{(k)}\), т.е. набор неотрицательных чисел \(\mu_i^{(k)}, i \in S^{(k)}\), с суммой, равной 1. Выигрыш игрока \(k\) для пары смешанных стратегий \((\mu^{(1)}, \mu^{(2)})\) вычисляется как \[ U^{(k)}(\mu^{(1)}, \mu^{(2)}) = \sum_{i \in S^{(1)}} \sum_{j \in S^{(2)}} \mu_i^{(1)} \mu_j^{(2)} u^{(k)}(i,j). \] Смешанная стратегия \(\mu^{(2)}\) игрока 2 называется лучшим ответом на смешанную стратегию \(\mu^{(1)}\) игрока 1, если для любой другой смешанной стратегии \(\nu^{(2)}\) игрока 2 выполняется неравенство \[ U^{(2)}(\mu^{(1)}, \mu^{(2)}) \ge U^{(2)}(\mu^{(1)}, \nu^{(2)}). \] Аналогично определяется лучший ответ игрока 1 игроку 2. Пара смешанных стратегий \((\mu^{(1)},\mu^{(2)})\) называется равновесием Нэша в смешанных стратегиях, если обе стратегии в ней являются лучшими ответами друг на друга.

Теорема [Nash, 1950]. Равновесие Нэша в смешанных стратегиях существует.

Доказательство. Множество смешанных стратегий каждого игрока – вероятностный симплекс. На произведении этих симплексов определим множественнозначное отображение \(\Phi\) следующим образом: положим пару смешанных стратегий \((\nu^{(1)}, \nu^{(2)})\) в множество \(\Phi(\mu^{(1)}, \mu^{(2)})\), если \(\nu^{(1)}\) является лучшим ответом на \(\mu^{(2)}\), а \(\nu^{(2)}\) является лучшим ответом на \(\mu^{(1)}\). Прямая проверка показывает, что \(\Phi\) замкнуто, и имеет образами точек непустые выпуклые множества. Неподвижная точка \(\Phi\) и есть равновесие Нэша. \(\square\)