О курсе

Upd Весенний семестр 2021 завершён, информация ниже про зачёт не актуальна.

На этом сайте будут публиковаться материалы авторского спецкурса на Физтехе, посвящённого комбинаторной геометрии с топологическими приложениями. Начало курса, по мотивам комбинаторной леммы Шпернера, будет сильно пересекаться со второй половиной записок 2018 г. и вообще с кружками, которые я проводил для младшекурсников на Физтехе в 2014–2015 гг. Начнём мы с вещей, которые многие могли слышать на школьных олимпиадных кружках, но достаточно быстро разгонимся и дойдём до тем, которые не входят в стандартные физтеховские курсы. Среди них первые триумфы алгебраической топологии — идеи Брауэра об инвариантности размерности. Эти идеи позволят нам разобраться с парой известных теорем топологической комбинаторики, связанных с понятием центральной точки. Затем я планирую устроить кратчайший экскурс в теорию симплициальных когомологий, чтобы доказать одну замечательную теорему Громова, которая подведёт нас к разговору о современнейшей комбинаторике экспандеров.

Предварительное знание топологии не подразумевается. Первая половина курса будет доступна для первокурсников; во второй половине я буду использовать простые алгебраические понятия (например, фактор-группа и векторное пространство над полем из двух элементов). Я надеюсь, что и слушателям/читателям постарше не будет скучно, и постараюсь разбавлять изложение интерлюдиями посложнее. У этого курса нет одной объединяющей мысли, и главная его ценность — в его разнородном наборе идей, которые всплывают в математике сплошь и рядом: дискретная аппроксимация непрерывных задач и топологическая релаксация линейных; понятие размерности и её инвариантность; количественные метрические версии качественных топологических инвариантов; степень отображения и когомологии пространства; изопериметрия типа Федерера–Флеминга и расширение экспандеров.

Буду рад, если все интересующиеся запишутся в email-рассылку курса здесь. Это ни к чему не обязывает, но вы будете получать уведомления о том, что происходит с курсом. Я всячески приветствую обратную связь и готов корректировать темы в зависимости от пожеланий читателей. Не стесняйтесь писать мне по любым вопросам на почту или оставлять анонимные комментарии в гугл-форме.

Желающие могут получить (дифференцированный) зачёт по курсу. Для этого нужно присылать мне на почту (в любом виде) решения задач, которые будут публиковаться параллельно с лекциями. Для оценки ‘отл 10’ будет достаточно решить около половины из них. Официально в зачётку будет проставляться зачёт под зонтичным названием “Современные приложения дискретной математики и функционального анализа”.

Ниже я привожу примерную программу.

1. Лемма Шпернера о раскрашивании триангуляции симплекса. Приложение: справедливое деление. Дискретные аналоги леммы Шпернера — гекс-лемма, коннектор-лемма.

2. Непрерывные аналоги леммы Шпернера — теорема Брауэра о неподвижной точке, теорема Кнастера–Куратовского–Мазуркевича. Приложение: причёсывание ежа.

3. Топологическая размерность Лебега и её инвариантность. Топологическая степень отображения.

4. Теорема Шпильрайна о связи топологической размерности и хаусдорфовой. Поперечник по Урысону — количественный дефект размерности.

5. Топологическая теорема Карасёва о центральной точке. Первая селекционная лемма Бараня и её топологическая версия.

6. Кограничное расширение и топологическое перекрывание по Громову.

7. Графы-экспандеры и комплексы-экспандеры.

Если останется время, то можно будет обсудить ещё какие-нибудь этюды из комбинаторной топологии, например характеристические классы Штифеля–Уитни.