Сайт сопровождает кружок по систолической геометрии (и более общим геометрическим неравенствам), который я провожу весной 2023 года онлайн.
Вот пример прототипического вопроса систолической геометрии. Пусть у нас есть бублик сколь угодно сложной формы (или крендель, или другая изощрённая выпечка). Можно измерить площадь его поверхности $A$, а можно рассмотреть длину $L$ кратчайшей нестягиваемой петли на его поверхности. Петля называется нестягиваемой, если её нельзя непрерывно продеформировать так, чтобы она всегда оставалась на поверхности и в конце концов стянулась в точку. Число $L$ (или сама кратчайшая нестягиваемая петля) называется систолой поверхности бублика. Это слово восходит к греческому συστέλλειν ‘сжиматься’. В 1949-м году Карл Лёвнер доказал первое систолическое неравенство (для бублика):
\[L^2 \le \frac{2}{\sqrt{3}} A.\]
Аналогичные неравенства для систол выполняются не только для бублика, но и для поверхностей кренделей произвольной топологической и геометрической сложности, и для многомерных финслеровых бубликов, и для абстрактных симплициальных комплексов с большой когомологической длиной. Аналогичные неравенства часто выполняются не только для систолических инвариантов, но и для диастолических, изопериметрических, симплектических, количественно-топологических, среди которых заполняющий радиус Громова, длина кратчайшей замкнутой геодезической, поперечник Урысона, симплектическая ёмкость, квантовое кодовое расстояние или длина штрих-кода персистентных гомологий. Аналогичные идеи полезны и в других задачах геометрии (минимальные поверхности и положительная скалярная кривизна), а также в комбинаторике топологического (экспандеры) и экстремального (обхват и хроматическое число графа) свойства. Аналогичные рассмотрения бывают важны в теории чисел, в симплектической динамике, в квантовых вычислениях.
Я расскажу несколько геометрических, комбинаторных и топологических сюжетов вокруг этих идей: систолических, диастолических (минимаксных), изопериметрических. Например, я подробно и почти элементарно объясню систолическое неравенство Громова, далеко обобщающее неравенство Лёвнера.
Я рассчитываю, что моё изложение по большей части будет доступно второкурсникам. По ходу изложения я буду вводить нужные мне простые понятия из топологии (что такое фундаментальная группа и первая группа гомологий) и римановой геометрии (как измерять длины и объёмы на многообразиях). Пререквизитов из топологии и геометрии я не подразумеваю и постараюсь сводить аргументы в комбинаторный сеттинг по мере сил.
Они будут проходить по пятницам в 18:40 (мск) в зуме. Вводная лекция состоится 10 февраля.
У курса есть сопроводительный телеграм-чат, в котором можно обсуждать задачки с товарищами. Я всячески приветствую обратную связь и готов корректировать темы в зависимости от пожеланий слушателей. Не стесняйтесь писать мне по любым вопросам на почту или оставлять анонимные комментарии в гугл-форме.
Желающие из числа физтехов могут получить (дифференцированный) зачёт по курсу. Для этого нужно присылать мне на почту (в любом виде) решения задач, которые будут публиковаться параллельно с лекциями. Среди задач будет много трудных/исследовательских, поэтому для оценки ‘отл 10’ будет достаточно решить около половины из обычных задач, либо продемонстрировать прогресс в паре исследовательских. Курс официально не зарегистрирован на кафедре Математических основ управления, и в зачётку пойдёт любое из следующих зонтичных названий на выбор: “Избранные вопросы теории множеств, комбинаторики и теории графов”; “Современные приложения дискретной математики и функционального анализа”; “Избранные вопросы алгебры и теории чисел”; “Дифференциальная геометрия и введение в теорию особенностей”.
Я затрону какое-то подмножество из следующих милых моему сердцу тем.
