Задачи 1–7 можно начать сдавать только до 1 мая!
Цель этой задачи — восполнить пробелы в доказательстве теоремы Липтона–Тарьяна в его топологической части.
1.1. Медианой конечного облака точек $X \subset \mathbb{R}^3$ назовём точку $c \in \mathbb{R}^3$, такую что любое замкнутое полупространство, содержащее $c$, содержит хотя бы четверть точек множества $X$. Докажите, что множество всех медиан образует непустой выпуклый многогранник. Главной медианой $X$ назовём центр шара наименьшего радиуса, содержащего этот многогранник. Докажите, что главная медиана является медианой и что она непрерывно зависит от $X$.
1.2. Пусть на сфере $S^2 \subset \mathbb{R}^3$, ограничивающей единичный шар $B^3$, нарисовано семейство неперекрывающихся сферических шапочек $C_i$. Возьмём последовательность точек $x_k \in B^3 \setminus S^2$, сходящихся к точке $x’ \in S^2$, и рассмотрим преобразования Мёбиуса $\tau_{x_k}$, определённые во второй лекции и стягивающие сферу в сторону $x’$. Пусть $f(x_k)$ обозначает главную медиану множества центров шапочек $\tau_{x_k}(C_i)$. Как ведёт себя последовательность $f(x_k)$? Обратите внимание, что может быть несколько сценариев поведения в зависимости от того, как антиподальная к $x’$ точка расположена по отношению к $\bigcup C_i$. Удастся ли доопределить $f$ до непрерывного отображения на шаре $B^3$? В каких случаях удастся гарантировать $f(x’) = x’$?
1.3. Предположим, отображение $f$ удалось продолжить до непрерывного отображения $f : B^3 \to B^3$, неподвижного на каждой точке граничной сферы (то есть $f(x’) = x’$ для любой точки $x’ \in S^2$). Тогда существует точка $x \in B^3$, которую $f$ переводит в центр шара $B^3$. Действительно, если это не так, можно рассмотреть композицию $f$ с центральной проекцией из центра шара на сферу $S^2$, и получится непрерывное отображение $f : B^3 \to S^2$, неподвижное на каждой точке граничной сферы. Докажите, что таких отображений не существует, пользуясь теоремой Брауэра о неподвижной точке: любое непрерывное отображение $B^3$ в себя должно иметь неподвижную точку.
1.4. Завершите рассуждение, использованное в доказательстве теоремы Липтона–Тарьяна: докажите, что существует преобразование Мёбиуса $\tau_{x}$, такое что центр шара $B^3$ является медианой для множества центров сферических шапочек $\tau_{x}(C_i)$.
Цель этой задачи — восполнить теоретико-графовые пробелы в доказательстве теоремы Кёбе. Напомню, что планарный граф мы называем трёхсвязным, если он представляет собой скелет (остов) какого-то трёхмерного многогранника (то есть у этого многогранника вершины и рёбра образуют такой же граф). Это нестандартное определение (взятое из теоремы Штайница), а стандартное содержится в последнем пункте этой задачи.
2.1. Докажите, что в любой планарный граф можно добавить несколько новых вершин и соединить их как-то друг с другом и со старыми вершинами, чтобы полученный граф стал планарным трёхсвязным. Иными словами, любой планарный граф есть индуцированный подграф планарного трёхсвязного графа.
2.2. Докажите, что планарный трёхсвязный граф можно нарисовать на сфере более-менее единственным образом. Под словом “нарисовать” я подразумеваю, что нарисованные рёбра не должны пересекаться (кроме как в общей вершине, если рёбра инцидентны одной вершине). Формально, докажите что любые две рисовки планарного трёхсвязного графа на сфере комбинаторно эквивалентны в следующем смысле. Заданная рисовка разрезает сферу на грани (или страны), каждая из которых описывается списком её вершин в циклическом порядке обхода (направление обхода зафиксируем одним и тем же для всех граней на сфере). Так вот, в любых двух рисовках планарного трёхсвязного графа на сфере описания их граней (стран) либо буквально одинаковые, либо отличаются только направлением циклического обхода. Отсюда следует, что двойственный граф планарного трёхсвязного графа корректно определён, даже если исходный граф ещё не нарисован.
2.3. Докажите, что планарный трёхсвязный граф содержит треугольную грань, если его двойственный граф не содержит треугольных граней.
2.4. Пусть дан планарный трёхсвязный граф, и у него выбрана какая-то грань. Докажите, что можно нарисовать этот граф на плоскости, чтобы все рёбра были прямолинейными отрезками, и выбранная грань оказалась внешней гранью рисовки.
2.5. (Не нужно для теоремы Кёбе, но зато объясняет слово “трёхсвязный”.) Докажите, что планарный трёхсвязный граф удовлетворяет следующему свойству: между любыми двумя его вершинами найдутся три пути, которые пересекаются только в концевых вершинах.
Докажите, что любой планарный трёхсвязный граф допускает представление в виде скелета (остова) трёхмерного многогранника, у которого все рёбра касаются одной и той же сферы.
Пусть $g$ — риманова метрика на шестиугольнике, относительно которой расстояния между противоположными сторонами шестиугольника не меньше $1$. Можно ли из этого вывести нижнюю оценку для римановой площади шестиугольника?
5.1. Пусть $g$ — риманова метрика на цилиндре $S^1 \times [0,1]$, в которой расстояние между двумя граничными окружностями не меньше $1$, а также длина любой окружности, гомотопной граничной, не меньше $1$. Дайте оценку снизу на риманову площадь такого цилиндра. (Подсказка: можно свести эту задачу к неравенству Безиковича, или же адаптировать доказательство неравенства Безиковича с использованием неравенства коплощади.)
5.2. Докажите систолическое неравенство Лёвнера на торе с неточным множителем без униформизации.
5.3. Сформулируйте и докажите систолическое неравенство на бутылке Клейна (можно с неточным множителем).
5.4. Сформулируйте и докажите систолическое неравенство на проективной плоскости (можно с неточным множителем).
Цель этой задачи — свести теорему типа Липтона–Тарьяна к теореме о сепараторе на сфере. Пусть $G = (V,E)$ — планарный граф степени $d$. Его можно “реализовать” как риманову метрику $g$ на сфере $S^2$, используя $G$ как “чертёж”. А именно, возьмём по круглой полусфере периметра $d$ для каждой вершины графа, и по узкому прямоугольнику $[0,\epsilon] \times [0,1]$ для каждого ребра. Приклеим широкие стороны прямоугольников к полусферам согласно “чертежу” $G$. Доклеим римановы многоугольники ничтожной площади по граням планарной рисовки, чтобы превратить эту конструкцию в сферу. Теорема о сепараторе выдаст петлю $\gamma$, которую можно продеформировать, не увеличивая длину, чтобы вытолкнуть её из вершин-полусфер, кроме тех, которые она режет примерно пополам. Тогда продеформированная петля разрежет граф хорошим образом. Восстановите подробности этой конструкции и сформулируйте точно результат про планарные графы, который она доказывает.
Пусть $\alpha \in [1/2, 1]$. На двумерной римановой сфере площади $1$ назовём $\alpha$-сепаратором несамопересекающуюся петлю, разрезающую сферу на области площади $\le \alpha$. В лекциях разбирался случай $\alpha = 3/4$, и показывалось, что всегда можно найти $\alpha$-сепаратор длины $< 5$. Приведите примеры сфер, которые показывают, что при $\alpha < 2/3$ не существует константы $c_\alpha$, для которой гарантированно бы существовал $\alpha$-сепаратор длины $< c_\alpha$.
Цель этой задачи — обсудить эквивалентные определения существенности. Для простоты ограничимся случаем $n$-мерного компактного многообразия $M^n$. Из второго пункта следует, что все компактные двумерные многообразия, кроме сферы, существенные.
8.1. Докажите, что $M^n$ существенно в том и только том случае, когда не существует непрерывного отображения $M^n \to Y^{n-1}$ в $(n-1)$-мерный симплициальный комплекс, индуцирующего изоморфизм фундаментальных групп. (Подсказка: в одну сторону может помочь конструкция отображения в нерв покрытия, на которую можно ссылаться.)
8.2$^*$ (для знатоков). Докажите, что многообразие $M^n$ существенно в том и только том случае, когда оно допускает непрерывное отображение $M \to K$ в асферический комплекс, которое отправляет фундаментальный класс $[M]$ в ненулевой класс в $H_n(K)$ (с коэффициентами $\mathbb{Z}$ в случае ориентированного $M$ и $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ в случае неориентированного). Комплекс называется асферическим, если все его старшие гомотопические группы $\pi_{\ge 2}$ тривиальны.
Докажите, что на двумерном римановом торе можно выбрать две нестягиваемые и не гомотопные друг другу петли, так чтобы произведение их длин было меньше площади тора (с точностью до абсолютного множителя).
Докажите, что на двумерной римановой сфере процесс Биркгофа (описанный в последней лекции) в пределе сходится к замкнутой геодезической (возможно, тривиальной).
