Метрическая размерность, нерв, поперечник

—14—

В этом пункте собраны базовые определения, связанные с понятием компактного метрического пространства.

Метрическим пространством называется множество \(X\) вместе с функцией расстояния \(\text{dist}: X \times X \to \mathbb{R}\), или метрикой, удовлетворяющей свойствам:

• \(\text{dist}(x,y) = \text{dist}(y,x)\);
• \(\text{dist}(x,z) \le \text{dist}(x,y) + \text{dist}(y,z)\) (неравенство треугольника);
• \(\text{dist}(x,y) = 0 ~ \Leftrightarrow ~ x = y\);
• \(\text{dist}(x,y) \ge 0\) (следствие вышеперечисленного).

Имея функцию расстояния, можно определить

• диаметр множества: \(\text{diam}(A) = \sup\limits_{x,y \in A} \text{dist}(x,y)\);
• расстояние до множества \(\text{dist}(x,A) = \inf\limits_{y \in A} \text{dist}(x,y)\);
• сходимость последовательности: \(\lim\limits_{i \to \infty} x_i = x ~\Leftrightarrow~ \lim\limits_{i \to \infty} \text{dist}(x_i,x) = 0\);
• открытые шары¹ \(U_r(x_0) = \{x \in X ~\vert~ \text{dist}(x,x_0) < r\}\) и замкнутые шары \(B_r(x_0) = \{x \in X ~\vert~ \text{dist}(x,x_0) \le r\}\);
• открытые множества — содержащие с каждой своей точкой открытый шар с центром в ней;
• замкнутые множества — дополнения к открытым, или же множества, содержащие пределы всех своих послежовательностей.

Метрическое пространство компактно², если выполнено любое из эквивалентных условий:

• из любого открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие;
• из любой последовательности элементов пространства можно вычленить сходящуюся подпоследовательность.

Для подмножеств \(\mathbb{R}^n\) компактность равносильна замкнутости и ограниченности.

Отображение \(f : X \to Y\) метрических пространств называется непрерывным, если выполнено любое из эквивалентных условий:

• \(\forall x \in X~\forall \varepsilon>0 ~\exists \delta > 0\) такое, что \(f(U_\delta(x)) \subset U_\varepsilon(f(x))\);
• прообраз любого открытого множества открыт.

Непрерывный образ компакта компактен.

Непрерывная функция \(X \to \mathbb{R}\), заданная на метрическом компакте, достигает своего минимума.

—15—

Для данного открытого покрытия компактного метрического пространства \(X = \bigcup U_i\) числом Лебега называется \(\rho > 0\) такое, что любой метрический шар \(U_\rho(x), x \in X\), целиком лежит в одном из множеств покрытия. Одна значимая лемма Лебега утверждает, что такое число действительно подобрать удастся. Ясно, что достаточно это доказать для конечного покрытия (из соображений компактности). Более того, можно считать, если какое-то \(U_i\) совпадает со всем пространством \(X\), выбросим его из рассмотрения без потери общности. Теперь, имея конечное покрытие из собственных подмножеств \(X = \bigcup\limits_{i=1}^{N} U_i\), рассмотрим непрерывную функцию \[ f(x) = \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{N} \text{dist}(x, X \setminus U_i), \] то есть среднее значение расстояния до дополнения \(X \setminus U_i\). Эта функция всюду положительна и достигает своего минимума на компакте; пусть \(\rho > 0\) — её минимальное значение. Тогда для любой точки \(x \in X\) одно из расстояний \(\text{dist}(x, X \setminus U_i)\) не меньше среднего, а значит, не меньше \(\rho\). А тогда \(U_\rho(x) \subset U_i\), и лемма доказана.

При помощи этой леммы мы дадим эквивалентное определение размерности для метрических компактов. Напомню, что топологическая размерность пространства не превосходит \(d\), если для любого открытого покрытия можно найти вписанное в него покрытие кратности не более \(d+1\).

Топологическая размерность метрического компакта не превосходит \(d\), если и только если выполнено следующее условие: \(\forall \varepsilon>0\) существует открытое покрытие кратности не более \(d+1\), состоящее из множеств диаметра меньше \(\varepsilon\).

Это условие можно воспринимать как ещё одно определение размерности (метрическая размерность), и смысл утверждения в том, что для класса метрических компактов оно совпадает с топологической размерностью.

Доказательство.

1. Пусть мы знаем, что метрическая размерность \(X\) не превосходит \(d\). Пусть дано произвольное открытое покрытие \(X = \bigcup U_i\), и пусть \(\rho\) — его число Лебега. Рассмотрим другое покрытие \(X = \bigcup V_j\), данное определением метрической размерности: его кратность не превосходит \(d+1\), а диаметры всех \(V_j\) меньше \(\rho\). Тогда оно вписано в \(\{U_i\}\), и тем самым показано, что топологическая размерность \(X\) не превосходит \(d\).

2. Пусть теперь топологическая размерность \(X\) не превосходит \(d\). Пусть дано произвольное \(\varepsilon>0\). Рассмотрим покрытие шарами \(X = \bigcup\limits_{x \in X} U_{\varepsilon/3}(x)\), и впишем в него покрытие кратности не более \(d+1\). Диаметры множеств в нём не превосходят \(2\varepsilon/3 < \varepsilon\). Значит, метрическая размерность \(X\) не больше \(d\). \(\square\)

—16—

Сейчас мы введём ключевую конструкцию отображения в нерв, придуманную Павлом Александровым.

Пусть дано конечное открытое покрытие \(X = \bigcup\limits_{i=1}^N U_i\) метрического компакта \(X\). Разбиением единицы, подчинённым \(\{U_i\}\), называется набор непрерывных функций \(\varphi_i: X \to \mathbb{R}, 1 \le i \le N\), удовлетворяющих свойствам:

• \(\varphi_i(x) \ge 0\);
• \(\text{supp } \varphi_i = \overline{\{x \in X ~\vert~ \varphi_i(x) \neq 0\}} \subset U_i\);
• \(\sum\limits_{i=1}^N \varphi_i(x) = 1\).

Покажем, что разбиение единицы существует. Пусть \(\rho\) — число Лебега покрытия, и введём \(C_i = \{x \in X ~\vert~ \text{dist}(x, X\setminus U_i) \ge \rho\}\) (они образуют замкнутое покрытие \(X\)). Определим функции

\[ \psi_i(x) = \begin{cases} 1, & x \in C_i, \\ \frac{2}{\rho} \text{dist}(x, U_{\rho/2}(X\setminus U_i)), & x \notin C_i. \end{cases} \]

Наконец, положим \[ \varphi_i(x) = \frac{\psi_i(x) }{\sum\limits_{j=1}^N \psi_j(x)}. \]

Объединяя все \(\varphi_i\) в одно отображение с образом в \(\mathbb{R}^N\), заметим, что образ на самом деле укладывается в стандартный симплекс \(\triangle^{N-1} = \{(y_1, \ldots, y_N) \in \mathbb{R}^N ~\vert~ y_i \ge 0, \sum y_i = 1\}\): \[ \varphi: X \to \triangle^{N-1}. \] Каждому множеству \(U_i\) из исходного покрытия отвечает вершина \(e_i \in \triangle^{N-1}\). Каждому непустому пересечению \(U_{i_1} \cap \ldots \cap U_{i_k} \neq\varnothing\) отвечает грань \(\text{conv}\{e_{i_1}, \ldots, e_{i_k}\} \subset \triangle^{N-1}\). Нервом покрытия называется объединение всех таких граней по всевозможным непустым пересечениям \(U_{i_1} \cap \ldots \cap U_{i_k} \neq\varnothing\). Отображение \(\varphi\) переводит \(X\) в нерв. Размерность нерва на единицу меньше кратности покрытия \(\{U_i\}\).

—17—

Павел Урысон ввёл³ следующую меру «\(d\)-мерности» метрического компакта.

Определение. Для метрического компакта \(X\) его \(d\)-мерным поперечником называется любая из следующих (равных) величин.

\[ \text{UW}_d(X) = \inf\limits_{\substack{\bigcup U_i = X \\ \text{mult.} {U_i} \le d+1}} \sup\limits_{i} \text{diam}(U_i), \] где инфимум берётся по открытым покрытиям кратности не более \(d+1\).

\[ \text{UW}_d(X) = \inf\limits_{\substack{p: X \to Z \\ \dim Z \le d}} \sup\limits_{z \in Z} \text{diam}(p^{-1}(z)), \] где инфимум берётся по всем непрерывным отображениям \(p\) в метризуемые⁴ пространства размерности не более \(d\).

Набросок доказательства эквивалентности. Пусть \(w_\text{o}\) и \(w_\text{m}\) обозначают \(d\)-поперечник в смысле двух определений.

1. Если дано открытое покрытие \(\{U_i\}\) кратности не более \(d+1\), можно с ним ассоциировать отображение в нерв. Прообраз любой точки полностью содержится в одном из множеств покрытия, поэтому \(w_\text{o} \ge w_\text{m}\).

2. Пусть дано отображение \(p: X \to Z\) в метризуемое пространство. Заменим \(Z\) на \(p(X)\), чтобы считать образ компактным. Зафиксируем малое число \(\varepsilon>0\). Для каждой точки \(z \in Z\) можно подобрать настолько малую её окрестность \(V_z \subset Z\), чтобы \(\text{diam} (p^{-1}(V_z)) < \text{diam} (p^{-1}(z)) + \varepsilon\). В открытое покрытие \(\{V_z\}\) можно вписать покрытие кратности не более \(d\), и рассмотреть прообразы множеств этого вписанного покрытия. Они образуют открытое покрытие пространства \(X\) с кратностью не более \(d+1\) и с контролируемым диаметром множеств. Поэтому \(w_\text{o} \le w_\text{m}\). \(\square\)

Лемма Лебега о покрытиях куба влечёт, что \(\text{UW}_{n-1}(\square^n) = 1\), где \(\square^n\) обозначает евклидов куб с единичным ребром.

—Ссылки—

• P. Alexandroff, Notes supplémentaires au “Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes”, rédigées d’après les papiers posthumes de Paul Urysohn. Fundamenta Mathematicae (1926).