Ссылки на остаток курса
Остаток курса — пересказ пары статей (см. ссылки ниже), доказывающих такие теоремы топологической комбинаторики. Я поленился оформлять подробные записки.
Селекционная лемма.
- [Bárány, 1982] Существует размерностная константа \(p_d > 0\), удовлетворяющая следующему свойству. Для любой абсолютно непрерывной вероятностной меры \(\mu\) в \(\mathbb{R}^d\) найдётся точка \(c \in \mathbb{R}^d\), такая что случайный \(d\)-симплекс (выпуклая оболочка \(d+1\) точек, независимо семплированных из распределения \(\mu\)) содержит \(c\) с вероятностью не менее \(p_d\).
- [Gromov, 2010] Вероятность \(p_d\) может быть взята равной \(\frac{1}{(d+1)!}\).
Пусть \(X\) — симплициальный комплекс, \(\Sigma_k(X)\) — множество его \(k\)-симплексов, \(\delta\) — оператор кограницы, а \(C^k(X), Z^k(X), B^k(X)\) — группы коцепей, коциклов, кограниц в размерности ((k\) с коэффициентами в \(\mathbb{Z}/2\). Соглашение: \(\Sigma_{-1}(X)\) состоит из одного (пустого) симплекса, и \(\delta^*: C^0(X) \to C^{-1}(X)\) и \(B^0(X)\) определены с учётом этого. Норму коцепи \(\alpha \in C^k(X)\) определим как \[ \lVert \alpha\rVert = \frac{\#\{\sigma \in \Sigma_k(X) ~\vert~ \alpha(\sigma) \neq 0\}}{\# \Sigma_k(X)}. \] Комплекс \(X\) может удовлетворять или не удовлетворять следующим свойствам.
-
Кограничное расширение в размерности \(k\) с параметром \(\eta\): \(\forall\alpha \in C^{k-1}(X)\) выполнено \(\lVert\delta \alpha\rVert \ge \eta \min\limits_{\beta \in B^{k-1}(X)} \lVert\alpha + \beta\rVert \).
-
Коизопериметрия в размерности \(k\) с параметром \(L\): \(\forall\beta \in B^{k}(X)\) \(\exists \alpha \in C^{k-1}(X)\), так что \(\delta \alpha = \beta\) и \(\lVert \alpha\rVert \le L \lVert \beta\rVert\).
-
Большие косистолы в размерности \(k\) с параметром \(\nu\): \(\forall\alpha \in Z^{k}(X) \setminus B^k(X)\) выполнено \(\lVert \alpha\rVert \ge \nu\).
-
Локальная разреженность с параметром \(\epsilon\): для любого симплекса \(\tau\) и любого \(0 \le k \le \dim X\) выполнено \(\frac{\#\{\sigma \in \Sigma_k(X) ~\vert~ \tau \cap \sigma \neq \varnothing \}}{\# \Sigma_k(X)} \le \epsilon\).
-
Топологическое перекрывание в размерности \(d\) с параметром \(\mu\): для любого непрерывного отображения \(f : X \to \mathbb{R}^d\) найдётся точка \(p \in \mathbb{R}^d\), такая что \(\frac{\#\{\sigma \in \Sigma_d(X) ~\vert~ p \in f(\sigma) \}}{\# \Sigma_k(X)} \ge \mu\).
Теорема о топологическом перекрывании.
- [Gromov, 2010] \(\forall d, \eta\) \(\exists \epsilon, \mu\) такие, что любой симплициальный комплекс \(X\) размерности \(d\), обладающий кограничным расширением в размерностях \(1,\ldots, d\) с параметром \(\eta\) и локальной разреженностью с параметром \(\epsilon\), автоматически удовлетворяет топологическому перекрыванию в размерности \(d\) с параметром \(\mu\).
- [Dotterrer–Kaufman–Wagner, 2018] \(\forall d, L, \nu\) \(\exists \epsilon, \mu\) такие, что любой симплициальный комплекс \(X\) размерности \(d\), обладающий коизопериметрией в размерностях \(1,\ldots, d\) с параметром \(L\), большими косистолами в размерностях \(0,\ldots, d-1\) с параметром \(\nu\) и локальной разреженностью с параметром \(\epsilon\), автоматически удовлетворяет топологическому перекрыванию в размерности \(d\) с параметром \(\mu\).
—Ссылки—
- R. Karasev, A simpler proof of the Boros–Füredi–Bárány–Pach–Gromov theorem. Discrete & Computational Geometry (2012).
- D. Dotterrer, T. Kaufman, U. Wagner, On expansion and topological overlap. Geometriae Dedicata (2018).