Ссылки на остаток курса


Остаток курса — пересказ пары статей (см. ссылки ниже), доказывающих такие теоремы топологической комбинаторики. Я поленился оформлять подробные записки.

Селекционная лемма.

  1. [Bárány, 1982] Существует размерностная константа \(p_d > 0\), удовлетворяющая следующему свойству. Для любой абсолютно непрерывной вероятностной меры \(\mu\) в \(\mathbb{R}^d\) найдётся точка \(c \in \mathbb{R}^d\), такая что случайный \(d\)-симплекс (выпуклая оболочка \(d+1\) точек, независимо семплированных из распределения \(\mu\)) содержит \(c\) с вероятностью не менее \(p_d\).
  2. [Gromov, 2010] Вероятность \(p_d\) может быть взята равной \(\frac{1}{(d+1)!}\).

Пусть \(X\) — симплициальный комплекс, \(\Sigma_k(X)\) — множество его \(k\)-симплексов, \(\delta\) — оператор кограницы, а \(C^k(X), Z^k(X), B^k(X)\) — группы коцепей, коциклов, кограниц в размерности ((k\) с коэффициентами в \(\mathbb{Z}/2\). Соглашение: \(\Sigma_{-1}(X)\) состоит из одного (пустого) симплекса, и \(\delta: C^0(X) \to C^{-1}(X)\) и \(B^0(X)\) определены с учётом этого. Норму коцепи \(\alpha \in C^k(X)\) определим как \[ \lVert \alpha\rVert = \frac{\#\{\sigma \in \Sigma_k(X) ~\vert~ \alpha(\sigma) \neq 0\}}{\# \Sigma_k(X)}. \] Комплекс \(X\) может удовлетворять или не удовлетворять следующим свойствам.

Теорема о топологическом перекрывании.

  1. [Gromov, 2010] \(\forall d, \eta\) \(\exists \epsilon, \mu\) такие, что любой симплициальный комплекс \(X\) размерности \(d\), обладающий кограничным расширением в размерностях \(1,\ldots, d\) с параметром \(\eta\) и локальной разреженностью с параметром \(\epsilon\), автоматически удовлетворяет топологическому перекрыванию в размерности \(d\) с параметром \(\mu\).
  2. [Dotterrer–Kaufman–Wagner, 2018] \(\forall d, L, \nu\) \(\exists \epsilon, \mu\) такие, что любой симплициальный комплекс \(X\) размерности \(d\), обладающий коизопериметрией в размерностях \(1,\ldots, d\) с параметром \(L\), большими косистолами в размерностях \(0,\ldots, d-1\) с параметром \(\nu\) и локальной разреженностью с параметром \(\epsilon\), автоматически удовлетворяет топологическому перекрыванию в размерности \(d\) с параметром \(\mu\).

—Ссылки—