Второй взгляд: игра в гекс

—3—

Лемма Шпернера — лишь одно из утверждений в большой серии “примерно эквивалентных” теорем, которые для нас будут представлять интерес. Самое знаменитое из них — топологическая теорема Брауэра о неподвижной точке, мы доберёмся до неё чуть позже (как и до идеологии степени отображения, которая является для нас главным маяком). Начнём с несложных комбинаторных утверждений. Первое утверждение я буду называть коннектор-леммой.

Лемма [Hochberg–McDiarmid–Saks, 1995]. Пусть вершины триангуляции \(n\)-мерного симплекса покрашены произвольно в цвета \(1, 2, \ldots, n\). Тогда для какого-то \(i\) найдётся коннектор цвета \(i\) — связный (по рёбрам триангуляции) подграф на вершинах цвета \(i\), касающийся всех гиперграней симплекса.

Доказательство. Предположим, не существует цвета, соединяющего все грани. Тогда для любой вершины триангуляции мы можем написать в ней метку, равную минимальному номеру грани, до которой нельзя дойти из данной вершины, шагая по вершинам одного цвета. Наши метки шпернеровские: на грани \(i\) нету меток \(i\). Найдём тогда радужный “разнометочный” симплекс. Метки в его вершинах различны, но цвета каких-то двух вершин совпадают (так как цветов всего \(n\)). Эти две вершины соединены ребром, имеют один цвет, но помечены разными метками. Это противоречит нашему алгоритму проставления меток. \(\square\)

Следующее утверждение я буду называть гекс-леммой, по названию игры гекс, в которую в 1948-м году на кафеле в туалетах Принстонского университета играли студенты, включая будущего Нобелевского и Абелевского дауреата Джона Нэша, который эту игру придумал¹.

Лемма [Nash, 1948]. Рассматривается мелко триангулированный \(n\)-мерный куб \(\square^n\). Каждому из \(n\) игроков назначены две противоположные гиперграни куба (суммарно покрывающие всю границу куба). Далее происходит следующая игра: игроки по очереди выставляют фишки своего цвета в вершины триангуляции (в каждой вершине может находиться лишь одна фишка). Выигрывает тот, кто первым сможет соединить свои гиперграни цепочкой фишек своего цвета (в цепочке соседние вершины соединены рёбрами триангуляции). Утверждается, что такая игра не может закончиться ничьей.

Доказательство. Предположим, все вершины заполнены фишками, но никто до сих пор не победил. Пусть куб задан в декартовых координатах как \(\{x \in \mathbb{R}^n ~\vert~ x_1, \ldots, x_n \in [0,1]\}\), и пусть \(F_j\) обозначает его гипергрань, высекаемую равенством \(x_j=1\). Для непустого подмножества индексов \(J \subset [n]\) обозначим через \(F_J\) грань коразмерности \(|J|\), являющуюся пересечением граней \(F_j\), \(j \in J\) (в частности, \(F_{[n]} = \{(1,\ldots,1)\}\)). Мы расширим триангуляцию куба на некий больший симплекс и применим к нему коннектор-лемму. Для каждого цвета \(j\) дорисуем одну новую вершину \(a_j\) цвета \(j\) в точке с координатами \((0,\ldots, \underbrace{n+1}_{\text{позиция } j}, \ldots, 0) \). Также рассмотрим вершину \(a_0 = (0,\ldots,0)\) куба. Выпуклая оболочка точек \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) — наш симлекс \(\triangle^n\), триангуляцию которого нужно уточнить.

• Во-первых, в триангуляцию \(\triangle^n\) пойдут все симплексы триангуляции куба \([0,1]^n\).
• Во-вторых, для любого непустого \(J \subset [n]\) и любого \( (n-|J|) \)-симплекса \(S\) внутри \(F_J\) мы добавляем в триангуляцию \(n\)-симплекс, натянутый на \(S\) и точки \(a_j\), \(j \in J\).

В полученной триангуляции есть одноцветный коннектор цвета \(i\). Этот коннектор (с выброшенной вершиной \(a_i\)) и даёт цепочку, гарантирующую победу игрока \(i\). \(\square\)

—4—

От гекс-леммы мы перейдём к её непрерывному аналогу, который иногда называют версией леммы Лебега, хотя доказал (в большей общности) её впервые Брауэр.

Лемма [Brouwer, 1910]. Если \(n\)-мерный единичный куб \(\square^n\) покрыт \(n\) открытыми множествами, то какие-то две противоположные грани можно соединить кривой, лежащей внутри одного из множеств.

Доказательство. Триангулируем куб очень мелко, чтобы любое ребро триангуляции имело длину \(< \varepsilon\), где \(\varepsilon\) — число Лебега покрытия². Каждую вершину триангуляции красим в цвет, отвечающий тому накрывающему множеству (любому из таких, если их несколько), которое накрывает шар радиуса \(\varepsilon\) с центром в этой вершине. Применяем дискретную гекс-лемму. \(\square\)

—Cсылки—

• R. Hochberg, C. McDiarmid, M. Saks, On the bandwidth of triangulated triangles. Discrete Mathematics (1995).
• D. Gale, The game of Hex and the Brouwer fixed-point theorem. The American Mathematical Monthly (1979).