Третий взгляд: покрытия и размерность

—5—

Самый непосредственный непрерывный аналог леммы Шпернера — следующий результат Кнастера–Куратовского–Мазуркевича, сокращённо — ККМ.

Лемма [Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz, 1929]. Пусть в \(n\)-мерном симплексе \(\triangle^n = \text{conv}(a_0, \ldots, a_n)\) выбраны замкнутые подмножества \(U_0, \ldots, U_n\), так что для любого \(0\le k \le n\) и любого подмножества индексов \(0 \le i_0 < \ldots < i_k \le n\) соответствующая \(k\)-мерная грань \(\text{conv}(a_{i_0}, \ldots, a_{i_k})\) накрыта объединением \(U_{i_0} \cup \ldots \cup U_{i_k}\). Тогда \(\bigcap\limits_{i=0}^{n} U_i \neq \varnothing\).

Доказательство. Триангулируем симплекс очень мелко и покрасим вершины в цвета, отвечающие накрывающим множествам. Если вершина накрыта несколькими множествами, то можно выбрать любое из них, с одним исключением. Мы хотим получить шпернеровскую раскраску, поэтому для точек на грани, противолежащей вершине \(a_i\), мы не будем выбирать цвет \(i\). Условие ККМ-покрытия позволяет нам этого добиться. Тогда найдётся разноцветный симплекс триангуляции. Если триангуляция была очень мелкая, то где-то внутри этого разноцветного симплекса мы хотели бы найти точку, принадлежащую всем множествам покрытия. Чтобы формализовать эту интуицию, можно действовать в духе алгоритмов справедливого деления (—2—). Применим лемму Шпернера для серии всё более мелких триангуляций, найдём последовательность уменьшающихся разноцветных треугольников, и из соображений компактности найдём их предельную точку. Так как множества покрытия замкнуты, предельная точка им всем принадлежит. \(\square\)

По магическим причинам в общей топологии часто оказывается, что подобного рода утверждения если верны для замкнутых множеств, то верны и для открытых. Для разнообразия продемонстрируем для открытых множеств часто встречающуюся версию ККМ-леммы.

Следствие. Если \(n\)-мерный симплекс \(\triangle^n\), гиперграни которого назовём \(F_0, \ldots, F_n\), покрыт открытыми¹ множествами \(U_0, \ldots, U_n\), так что \(F_i \cap U_i = \varnothing ~\forall i\), то \(\bigcap\limits_{i=0}^{n} U_i \neq \varnothing\).

Доказательство. Наверное, самый простой способ свести открытые множества к замкнутым — вспомнить аргумент с числом Лебега покрытия. Найдётся малое число \(\varepsilon > 0\), такое что любой шарик радиуса \(\varepsilon\), пересечённый с симплексом, лежит целиком в одном из множеств \(U_i\). Определим \(U_i’\) как множество всевозможных центров шаров радиуса \(\varepsilon\), которые укладываются в \(U_i\) (будучи пересечёнными с симплексом). Мы получим замкнутые множества \(U_0’, \ldots, U_n’\), покрывающие \(\triangle^n\) и удовлетворяющие условию ККМ. Их общая точка будет принадлежать \(\bigcap\limits_{i=0}^{n} U_i\). \(\square\)

—6—

Леммы о покрытиях из —4— и —5— имеют аналоги для покрытий куба или симплекса произвольным количеством множеств. Первая его часть обычно называется леммой Лебега о покрытиях. Сам Лебег её не доказывал (считал очевидной), и до нас дошла их едкая переписка с Брауэром, который считал, что эту лемму всё-таки нужно доказывать (и был первым, кто её доказал).

Лемма [Brouwer, 1911].

1. Если \(n\)-мерный куб \(\square^n\) покрыт конечным числом открытых (или замкнутых) множеств, никакое из которых не связывает² две противоположные гиперграни куба, то какая-то точка куба накрыта хотя бы \((n+1)\) множествами.
2. Если \(n\)-мерный симплекс \(\triangle^n\) покрыт конечным числом открытых (или замкнутых) множеств, никакое из которых не связывает все гиперграни симплекса, то какая-то точка симплекса накрыта хотя бы \((n+1)\) множествами.³

Доказательство. Часть 1 можно вывести из части 2 многими способами. Для замкнутого случая часть 1 следует из части 2 примерно по той же причине, по которой коннектор-лемма влечёт гекс-лемму. Открытый случай можно вывести их замкнутого, воспользовавшись трюком из —5—. Другой способ вывести 1 из 2 состоит в том, чтобы смотреть на куб как на симплекс, а именно установить гомеоморфизм между ними, который переведёт каждую из \(n\) граней куба, смежных с одной из вершин, в \(n\) граней симплекса, а объединение противоположных \(n\) граней куба — в оставшуюся грань симплекса. Детали этих рассуждений я оставляю проверить читателю.

Часть 2 проще вначале доказать для открытого случая. Для каждой компоненты связности каждого множества покрытия покрасим её в цвет \(i\), если эта компонента не задевает гипергрань симплекса с номером \(i\). По условию теоремы, такое \(i\) существует, а если таких \(i\) несколько, выберем любое. Пусть \(U_i\) — объединение всех компонент, покрашенных в цвет \(i\). Компонент может быть много, но объединение открытых множеств в любом количестве открыто. Множества \(U_i\) удовлетворяют посылке леммы ККМ (версия, сформулированная в —6— как следствие), из которой мы заключаем результат. Для случая замкнутых множеств самый простой способ свести к случаю открытых — рассмотреть открытые \(\varepsilon\)-окрестности данных замкнутых множеств, где \(\varepsilon > 0\) выбрано достаточно малым, чтобы кратность такого слегка раздутого покрытия не увеличилась. Читатель может убедить себя, что такое \(\varepsilon\) найдётся (и тут важно, что множеств конечное число). \(\square\)

—7—

Глубокий смысл последней леммы состоит в том, что она нам подсказывает, как, обходясь только слабейшими внутренними топологическими свойствами пространства (но не пользуясь ни метрической структурой, ни структурой векторного пространства), можно определить понятие размерности. Впервые это понятие топологической размерности, или размерности в смысле покрытий, или размерности Лебега, явно определил, кажется, Эдуард Чех, а большие шаги на пути в этом и в смежных направлениях были сделаны Пуанкаре, Лебегом, Брауэром, Менгером и Урысоном.

Определение. Лебеговой размерностью топологического пространства \(X\) называется наименьшее целое число \(n\) такое, что для всякого локально конечного открытого покрытия пространства \(X\) существует вписанное⁴ в него открытое покрытие кратности не более \(n+1\).

Инвариантность размерности [Brouwer, 1911]. Не существует гомеоморфизма между \(\mathbb{R}^n\) и \(\mathbb{R}^m\) при \(n \neq m\).

Доказательство. Предположим, существует непрерывное отображение \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) при \(m<n\), обратное к которому тоже непрерывно. Ограничим его на единичный куб \(\square^n\), и заметим, что образ \(f(\square^n)\) компактен (замкнут и ограничен). Воспользуемся равномерной непрерывностью отображения \(f^{-1}\), и выберем \(\varepsilon\) настолько малым, что для любого шара \(B \subset \mathbb{R}^m\) радиуса \(\varepsilon\) прообраз \(f^{-1}(B \cap f(\square^n))\) имеет диаметр меньше единицы. Покроем \(\mathbb{R}^m\) открытыми шарами радуиса \(\varepsilon\) с кратностью \(m+1\). Из компактности \(f(\square^n)\) следует, что можно выбрать конечное число этих шаров, чтобы они всё ещё покрывали \(f(\square^n)\). Обозначая эти шары через \(B_i\), рассмотрим открытое покрытие куба \(\square^n\) множествами \(f^{-1}(B_i \cap f(\square^n))\). Применяя к нему лемму Лебега–Брауэра, мы получаем противоречие: с одной стороны, кратность этого покрытия не превосходит \(m+1 < n+1\), а с другой — ни одно из множеств покрытия не соединяет противоположные грани куба. \(\square\)

—Ссылки—

• Статья Тихомирова и Успенского в Кванте, рассказывающая об Урысоне, одном из отцов теории размерности, а также о разных способах определения размерности топологического пространства.