Сайт сопровождает кружок по алгебраической комбинаторике, который я проводил весной 2022 года для младшекурсников-физтехов и любых других сочувствующих слушателей (информация ниже о зачёте неактуальна).
Тематика. Алгебраическая комбинаторика — собирательное название комбинаторных областей, которые либо существенно используют занятные алгебраические сущности, либо сами мотивированы связью с какой-нибудь содержательной алгеброй (например, системами корней в теории Ли, или когомологиями многообразий флагов). Теорию Ли и многообразия флагов я если и задену, то по касательной. Для меня это не вполне удачное название нужно только лишь для того, чтобы обозначить, что я не буду ничего рассказывать из экстремальной, перечислительной, “венгерской”, полиномиальной или какой бы то ни было ещё другой комбинаторики. Я расскажу несколько сюжетов, в которых в комбинаторных задачах возникают детерминанты и резисторы, диаграммы Юнга и Дынкина, ассоциэдры и пермутоэдры, замощения доминошками и параллелепипедами, страты положительного грассманиана и кластерные алгебры. Я рассчитываю, что моё изложение по большей части будет доступно первокурсникам.
Лекции. Они проходят по пятницам в 18:35. Вводная (необязательная для понимания дальнейшего) лекция пройдёт 11 февраля вживую в аудитории 5.18 в корпусе Цифра. Начиная с 18 февраля, лекции будут проходить в зуме.
Коммуникация. У курса есть сопроводительный телеграм-чат, в котором можно обсуждать задачки с товарищами. Я всячески приветствую обратную связь и готов корректировать темы в зависимости от пожеланий слушателей. Не стесняйтесь писать мне по любым вопросам на почту или оставлять анонимные комментарии в гугл-форме.
Зачёт. Желающие могут получить (дифференцированный) зачёт по курсу. Для этого нужно присылать мне на почту (в любом виде) решения задач, которые будут публиковаться параллельно с лекциями. Для оценки ‘отл 10’ будет достаточно решить около половины из них. Официально в зачётку будет проставляться зачёт под зонтичным названием “Избранные вопросы алгебры и теории чисел”.
—Программа—
- Электрические сопротивления в комбинаторике
- Лемма Линдстрёма, разрезания на доминошки и диаграммы Юнга
- Теорема Монского о разрезании
- Группы Коксетера и камеры Вейля
- Пермутоэдр
- Разрезания графических зонотопов и матричная теорема Кирхгофа
- Плабики (планарные двуцветные графы) Постникова
- Сечения циклического зонотопа по Галашину
- Высшие порядки Брюа и флиповые соотношения
—Cсылки—
- R. Brooks, C. Smith, A. Stone, W. Tutte, The dissection of rectangles into squares. Duke Mathematical Journal (1940).
- Е. Смирнов, Диаграммы Юнга, плоские разбиения и знакочередующиеся матрицы. МЦНМО (2014).
- Е. Смирнов, Три взгляда на ацтекский бриллиант, МЦНМО (2015).
- P. Monsky, On dividing a square into triangles. The American Mathematical Monthly (1970).
- J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge university press (1990).
- J. Stasheff, Homotopy associativity of H-spaces, I. Transactions of the American Mathematical Society (1963).
- A. Postnikov, Permutohedra, associahedra, and beyond. International Mathematics Research Notices (2009).
- A. Postnikov, Total positivity, Grassmannians, and networks. ArXiv preprint (2006).
- P. Galashin, Plabic graphs and zonotopal tilings. Proceedings of the London Mathematical Society (2018).
- G. Ziegler, Higher Bruhat orders and cyclic hyperplane arrangements. Topology (1993).