—Тезисы—

Пусть электрическая цень имеет \(n\) узлов, между которыми протянуты резисторы. Пусть между узлами \(i\) и \(j\) находится резистор с проводимостью (обратным сопротивлением) \(c_{ij} = c_{ji}\). Итоговое сопротивление цепи между любыми двумя узлами может быть подсчитано в терминах миноров лапласиана \(L = (\ell_{ij})_{i,j=1}^n\), где \[ \ell_{ij} = \begin{cases} \sum\limits_{k\neq i} c_{ik}, &\mbox{если } i=j; \\ -c_{ij}, &\mbox{если } i \neq j. \end{cases} \]

Например, сопротивление между узлами \(1\) и \(n\) равно \[ R_{1n} = \frac{\det L^{(1n)}}{\det L^{(n)}}, \]
где \(L^{(n)}\) получается из \(L\) вычеркиванием строки \(n\) и столбца \(n\), а \(L^{(1,n)}\) получается из \(L\) вычеркиванием строк \(1, n\) и столбцов \(1, n\).

Этой формуле можно придать комбинаторный смысл, если использовать замечательную теорему, неявно содержащуюся в старой работе Кирхгофа. В простом случае, когда все проводимости единичные, получится следующий способ подсчитать \(R_{1n}\). Знаменатель \(\det L^{(n)}\) равен количеству остовных деревьев в графе электрической цепи. Чтобы найти числитель \(\det L^{(1n)}\), нужно добавить к графу ребро \(\{1,n\}\), если его не было, и после этого подсчитать количество остовных деревьев, содержащих это ребро. В случае произвольных проводимостей нужно считать не количества деревьев, а суммы их весов, определяемых как произведения проводимостей рёбер.

Матричная теорема о деревьях [Kirchhoff, 1847]. По неориентированному графу \(G = (V, E)\) на \(n\) вершинах строится лапласиан \(L = (\ell_{ij})_{i,j=1}^n\), где \(\ell_{ii}\) есть степень вершины \(i\), \(\ell_{ij} = -1\), если вершины \(i,j\) соединены ребром, и \(\ell_{ij} = 0\) иначе. Тогда любой главный минор матрицы \(L\) размера \(n-1\) (например, \(\det L^{(n)}\)) равен числу остовных деревьев в графе \(G\).

Аналогично можно сформулировать и доказать версию этой теоремы для взвешенного графа. Доказательство с лекции основывалось на следующих леммах.

Лемма [Karlin–McGregor, 1959; Lindström, 1973; Gessel–Viennot, 1985]. Пусть \(G = (V,E)\) — ориентированный граф без (ориентированных) циклов и с весовой функцией \(w:E\to \mathbb{R}\). Пусть в нём выделены непересекающиеся подмножества вершин \(A = \{A_1, \ldots, A_n\}, B = \{B_1, \ldots, B_n\}\) одинаковой мощности \(n\). Весом ориентированного пути назовём произведение весов его рёбер: \(w(P) = \prod\limits_{e \in P} w(e)\). Положим \(m_{ij}\) равным сумме весов всех путей из \(A_i\) в \(B_j\) и образуем матрицу \(M = (m_{ij})_{i,j=1}^n\). Будем рассматривать системы путей \((P_1, \ldots, P_n)\), соединяющие \(A\) с \(B\); то есть \(P_i\) идёт из \(A_i\) в \(B_{\sigma(i)}\) для некоторой перестановки \(\sigma\). Тогда для вершинно непересекающихся систем путей выполнено равенство \[ \det M = \sum_{\substack{\text{верш. неперес. сист.} \\ (P_1, \ldots, P_n)\\P_i \text{ из } A_i \text{ в } B_{\sigma(i)}\\ \sigma \in S_n}} \mbox{sign } \sigma \cdot w(P_1) \cdot \ldots \cdot w(P_n). \]

Если раскрыть детерминант слева по формуле полного разложения, то получится то же, что и справа, но без дополнительного ограничения на непересечение. Содержание леммы в том, что вклад от пересекающихся систем уничтожается.

Формула Бине–Коши. Пусть \(P\) — матрица \(n \times m\), \(Q\) — матрица \(m \times n\), причём \(m \ge n\). Для системы индексов \(I \subset \{1,\ldots, m\}\) обозначим через \(P_I\) подматрицу матрицы \(P\), образованную столбцами с номерами из \(I\); аналогично введём \(Q_I\) как матрицу со строками из \(Q\) с номерами из \(I\). Тогда \[ \det PQ = \sum_{|I| = n} \det P_I \det Q_I. \]

—Cсылки—