Систолическое неравенство Лёвнера

10 Mar 2023

Формулы площади и коплощади

Здесь я приведу два очень частных случая известных интегральных формул.

Из формулы площади следует следующее неравенство. Пусть $f: M^n \to N^n$ — гладкое отображение римановых многообразий. Тогда для любого борелевского множества $A \subset M$ выполнено

\[\int_{p\in A} |\text{Jac}_p f| \ge \text{vol}_n f(A).\]

Здесь $\text{vol}_n f(A)$ можно понимать как интеграл индикаторной функции множества $f(A)$ по $N$, либо как $n$-мерную меру Хаусдорфа множества $f(A)$ (с нормировочным множителем $\frac{\omega_n}{2^n}$). Якобиан отображения $f$ в точке $p \in M$ определяется как детерминант матрицы линейного отображения $df_p : T_pM \to T_{f(p)}N$ для любого выбора ортонормированных базисов в $T_pM$ и $T_{f(p)}N$, а его абсолютная величина обозначена здесь $|\text{Jac}_p f|$.

Неравенство выше верно и для более общих отображений $f: M \to N$, например, липшицевых. Отображение $f: M \to N$ называется $L$-липшицевым, если для любых $x,y \in M$ верно $\text{dist}_N(f(x),f(y)) \le L \cdot \text{dist}_M (x,y)$ (расстояния, напомню, определяются в терминах инфимума длин кривых, соединяющих точки; определение повторено ниже). Как и в случае отображений между евклидовыми пространствами, липшицевы отображения почти всюду гладкие (теорема Радемахера), якобиан определён почти всюду, и его можно интегрировать.

Из формулы коплощади следует следующее неравенство. Пусть $h : M^n \to \mathbb{R}$ — $1$-липшицева функция. Тогда для любого борелевского множества $A \subset M$ выполнено

\[\text{vol}_n A \ge \int_{-\infty}^{+\infty} \text{vol}_{n-1} (A \cap h^{-1}(x)) dx.\]

Объём под интегралом справа можно понимать как риманов объём на $(n-1)$-мерном многообразии $h^{-1}(x)$ (оно оказывается подмногобразием для почти всех $x$, и риманова метрика на нём наследуется из $M$), либо как $(n-1)$-мерную меру Хаусдорфа множества $A \cap h^{-1}(x)$ (с нормировочным множителем $\frac{\omega_{n-1}}{2^{n-1}}$).

Систола

Напомню, что длина кривой $\gamma : [a,b] \to M$ на римановом многообразии определяется как

\[\text{len } \gamma = \int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t), \dot\gamma(t))} dt.\]

Эта формула была дана для гладких кривых $\gamma$, но она буквально может быть распространена и на липшицевы кривые, так как вектор $\dot\gamma(t) \in T_{\gamma(t)}M$ оказывается определён почти для всех $t$. Расстоянием между двумя точками на связном римановом многообразии называется инфимум длин кривых, соединяющих эти точки. В этом определени неважно, какой класс кривых рассматривать: гладкие, или кусочно гладкие, или липшицевы (так как любую липшицеву кривую можно приблизить гладкими).

Кривая $\gamma : [a,b] \to M$ называется замкнутой (или петлёй), если $\gamma(a) = \gamma(b)$. Кривая $\gamma : [a,b] \to M$ называется стягиваемой (в точку $p \in M$), если существует непрерывное отображение (гомотопия) $H: [a,b]\times [0,1] \to M$ такое, что $H(\cdot,0) = \gamma(t)$ и $H(t,1) = p$ для всех $t$.

Систолой риманова многообразия $M$ называется инфимум длин нестягиваемых (липшицевых) петель $\gamma : [a,b] \to M$. Обозначение: $\text{sys } M$. Если все петли стягиваемы, систола полагается равной $+\infty$.

Систолическое неравенство на двумерном торе

Теорема [Loewner, 1949]. Для любой римановой метрики $g$ на двумерном торе $T^2$ выполнено систолическое неравенство \(\text{sys }(T^2,g) \le \frac{2}{\sqrt{3}} \text{area }(T^2,g).\)

Доказательство через униформизацию. Одна крутая теорема из теории римановых поверхностей (похожая на теорему Кёбе) позволяет сделать конформную замену метрики на торе, чтобы она стала плоской. Формально это значит, что существует гладкое отображение $\phi$ между метрическими торами $(T^2,g_0)$ и $(T^2,g)$ со следующими свойствами.

  • Метрика $g_0$ — плоская, то есть тор $(T^2,g_0)$ эквивалентен фактору евклидовой плоскости по решётке: $(T^2,g_0) \simeq \mathbb{R}^2 / \Lambda$.
  • Отображение $\phi : (T^2,g_0) \to (T^2,g)$ — конформное, то есть формы $g(d\phi(v),d\phi(u))$ и $g_0(v,u)$ отличаются лишь скалярным множителем $f^2$, где $f: T^2 \to \mathbb{R}$ — гладкая положительная функция. Домножая конформный фактор на число, если необходимо, добьёмся того, чтобы $\text{area } (T^2,g_0) = \text{area } (T^2,g)$.

Плоский тор $\mathbb{R}^2 / \Lambda$ можно легко замостить семейством параллельных кривых $\{\ell_s\}$ одинаковой длины $\ell$, каждая из которых параллельна одному выбранному вектору решётки $\lambda \in \Lambda$. Эти кривые параметризованы параметром $s$, пробегающим окружность $S$ длины $\sigma$, где $\sigma \cdot \ell = \det \Lambda = \text{area } (T^2,g_0)$.

Карты на многообразии

\[\begin{align*} \sigma \cdot \ell &= \text{area } (T^2,g) = \int_{(T^2,g_0)} |\text{Jac}_p \phi| = \int_{(T^2,g_0)} f^2 = \int_S ds \int_{\ell_s} f^2 dt\\ &\ge \int_S ds \frac{\left( \int_{\ell_s} f \; dt \right)^2}{\ell} = \frac{1}{\ell} \int_S \left( \text{len } \phi(\ell_s) \right)^2 ds \ge \frac{\sigma}{\ell} \min_{s \in S} \left( \text{len } \phi(\ell_s) \right)^2. \end{align*}\]

Поэтому какая-то из петель $\phi(\ell_s)$ имеет длину не более $\ell$, и задача сводится к случаю плоского тора.

В случае плоского тора нужно выбрать направление кривых $\{\ell_s\}$, чтобы выполнялось $\ell^2 \le \frac{2}{\sqrt{3}} \text{area } (T^2, g_0) = \frac{2}{\sqrt{3}} \det \Lambda$. Ясно, что заметание можно выбрать, чтобы $\ell$ равнялось длине кратчайшего ненулевого вектора решётки $\Lambda$. Пусть $\lambda$ — такой кратчайший вектор, и пусть $\mu$ дополняет $\lambda$ до базиса $\Lambda$. Тогда $\sigma$ равно расстоянию между прямыми $\mathbb{R}\langle \lambda \rangle$ и $\mu + \mathbb{R}\langle \lambda \rangle$. Из того условия, что дискретная прямая $\mu + \mathbb{Z}\langle \lambda \rangle$ не пересекает открытый диск с центром в начале координат и радиусом $\ell$, следует, что $\sigma \ge \frac{\sqrt{3}}{2} \ell$, и утверждение следует. \(\square\)

Cсылки