Поперечник и существенность

24 Mar 2023

Размерность и поперечник

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство.

Размерность $X$ определим исходя из такого соглашения: $\dim X \le n$, если $\forall \epsilon >0$ существует открытое покрытие $x = \bigcup\limits_i U_i$ кратности не более $n+1$ (т.е. никакая точка не принадлежит более чем $n+1$ множествам покрытия), и $\text{diam } U_i < \epsilon$ для всех $i$.

Отклонение от $n$-мерности можно количественно измерить через поперечник Урысона: по определению, $\text{UW}_n(X) \le w$, если существует открытое покрытие $x = \bigcup\limits_i U_i$ кратности не более $n+1$, и $\text{diam } U_i \le w$ для всех $i$. Таким образом, $n$-мерный поперечник метрического компакта $X$ — инфимум всех таких чисел $w$, для которых выполнено это условие.

Фундаментальная группа

Пусть $X$ — линейно связное пространство, и $* \in X$ — выделенная точка. Фундаментальная группа $\pi_1(X, *)$ определяется следующим набором данных.

  • Элементы фундаментальной группы — петли $\gamma : [0,1] \to X, \gamma(0) = \gamma(1) = $ по модулю следующего отношения эквивалентности: петли $\gamma$ и $\gamma’$ гомотопны, если существует непрерывное отображение (гомотопия) $H : [0,1] \times [0,1] \to X$, соединяющее $\gamma = H\vert_{[0,1]\times{0}}$ и $\gamma’ = H\vert_{[0,1]\times{1}}$, так что $H(0, t) = H(1,t) = *$ для всех $t$.
  • Групповая операция — конкатенация петель; она корректно спускается на классы гомотопий.
  • Нейтральный элемент группы — класс стягиваемых петель, то есть петель, которые гомотопны константной петле $\gamma \equiv *$. Обратный элемент в группе происходит из обращения направления обхода петли.

Фундаментальная группа линейно связного пространств не зависит от выбора точки $*$ (для разных выделенных точек получаются изоморфные группы), поэтому будем писать просто $\pi_1(X)$, и думать про свободные петли (без фиксированного начала).

Непрерывное отображение линейно связных пространств $f : X \to Y$ индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп $f_* : \pi_1(X) \to \pi(Y)$.

Существенные пространства

Пусть $X$ — линейно связное пространство.

Открытое множество $U \subset X$ называется несущественным, если включение $\iota : U \hookrightarrow X$ индуцирует тривиальный гомоморфизм $\iota_* : \pi_1(U) \to \pi_1(X)$; иными словами, любая петля в $U$ стягиваема в $X$.

Пространство $X$ называется $n$-существенным, если не существует открытого покрытия $x = \bigcup\limits_i U_i$ кратности не более $n$, в котором все множества $U_i$ несущественные.

Другие эквивалентные определения существенности содержатся в (задаче 8).

Примеры $n$-мерных $n$-существенных пространств: тор $T^n = (S^1)^n = \mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n$, проективное пространство $\mathbb{R}P^n = S^n / \pm$ (фактор сферы по антиподальной инволюции). Пример $n$-мерного пространства, не являющегося $n$-существенным: $S^1 \times S^{n-1}, n \ge 3$.

Обычно когда про $n$-мерное пространство говорят, что оно существенное, имеется в виду, что оно $n$-существенное.

Лемма [Gromov, 1983]. Пусть $M$ — $n$-мерное ($n$-)существенное риманово многообразие. Тогда \(\text{sys}(M) \le 2 \text{UW}_{n-1}(M).\)

Доказательство. Предположим противное и зафиксируем число $w$ так, что $\text{UW}_{n-1}(M) < w < \text{sys}(M)/2$. Рассмотрим открытое покрытие $M = \bigcup\limits_i U_i$ кратности не более $n$, в котором $\text{diam } U_i < w$ для всех $i$. Проверим, что индуцированные гомоморфизмы $\pi_1(U_i) \to \pi_1(M)$ все тривиальны. Это будет противоречить тому, что $M$ — $n$-существенное.

Пусть $\gamma : [0,1] \to U_i$ — петля, которую без потери общности будем считать кусочно гладкой. Выберем точки $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_N = 1$ очень плотно, чтобы длины всех сегментов $\gamma\vert_{[t_j, t_{j+1}]}$ были меньше $\epsilon = \text{sys}(M) - 2w$. Зафиксируем любую точку $* \in U_i$. Так как $\text{diam } U_i < w$, можно провести кривые $g_j \subset M$ из $*$ в $\gamma(t_j)$ длины меньше $w$. Для каждого $j$ рассмотрим замкнутую кривую $\Delta_j$, склеенную из $g_j$, $\gamma\vert_{[t_j, t_{j+1}]}$, и обратного обхода $g_{j+1}$. Длина $\Delta_j$ меньше $2w + \epsilon = \text{sys}(M)$, поэтому класс $[\Delta_j] \in \pi_1(M)$ тривиальный. Однако сумма этих классов по всем $j$ есть образ класса $[\gamma] \in \pi_1(U_i)$ под действием гомоморфизма $\pi_1(U_i) \to \pi_1(M)$. Значит, $\gamma$ стягиваема в $M$, и противоречие получено. \(\square\)

Cсылки