Четвёртый взгляд: неподвижные точки

—8—

Пожалуй, наиболее известное применение леммы Шпернера — это вывод теоремы Брауэра о неподвижной точке. Доказательство мы могли бы провести сразу после обсуждения леммы Шпернера (—1—).

Теорема [Brouwer, 1910]. Любое непрерывное отображение \(f: B^n \to B^n\) \(n\)-мерного единичного шара в себя имеет неподвижную точку, т.е. точку \(x \in B^n\) такую, что \(f(x) = x\).

Доказательство. Теорему можно доказывать, заменив шар на любое гомеоморфное ему множество (осуществляя гомеоморфную “замену координат”). Будем доказывать утверждение для вероятностного симплекса \[ \triangle^n = \{ x = (x_0, x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^{n+1} : x_0 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0, \sum_i x_i = 1\}. \] Предположим, \(f(x) \neq x\) для всех \(x \in \triangle^n\). Тогда красим точку \(x\) в цвет \(i\), если \((f(x))_i < x_i\), и \(i\) – наименьший такой индекс, что это неравенство выполнено. Как обычно, мелко триангулируем наш симплекс, и замечаем, что раскраска получилась шпернеровская: грань, задаваемая \(x_i = 0\), не содержит цвета \(i\). Поэтому существует разноцветный треугольник, и как и раньше, мы можем найти предельную точку \(\hat x\) разноцветных треугольников в последовательности измельчающихся триангуляций. Эта точка должна быть неподвижной, так как \((f(\hat x))_i \le \hat x_i\) для всех \(i\). \(\square\)

—9—

Более-менее все утверждения, которые мы обсуждали до сих пор, друг другу “идеологически” эквивалентны, то есть симпатичным образом друг из друга выводятся. Например, мы вывели теорему Брауэра из леммы Шпернера, а можно было бы сделать и наоборот (см. ссылки внизу), хотя и непонятно зачем. Занятно, что теорема Брауэра была не первой в ряду таких “эквивалентов”, однако математики обратили на это внимание не сразу. Я позволю себе привести кратенькую историческую справку.

1883 Анри Пуанкаре декларирует следующее утверждение, некое рассуждение для которого он дал в 1886 г.

Теорема [Poincaré, 1886]. Пусть на кубе \([-1,1]^n\) заданы \(n\) непрерывных функций \(f_1, \ldots, f_n\), причём функция \(f_i\) отрицательна, когда \(x_i=-1\), и положительна, когда \(x_i=1\) (для всех \(i\)). Тогда в какой-то точке куба все \(n\) функций одновременно обнуляются.

В 1940 г. Карло Миранда показал, что эта теорема эквивалентна теореме Брауэра, и поэтому сейчас это утверждение называют теоремой Пуанкаре–Миранды. Доказательство этой теоремы легко получить из теоремы Боля (см. ниже).

1904 Выходит работа латвийского математика Пирса Боля, надолго оставшаяся незамеченной. В ней Боль доказал две теоремы, чрезвычайно близкие к теореме Брауэра, однако саму теорему о неподвижной точке он явно не сформулировал. Мотивация у Боля была аналитическая, и он формулировал только то, что ему было нужно для приложений к дифференциальным уравнениям. Двумерный случай теоремы содержится в докторской диссертации Боля 1900-го года.

Теорема [Bohl, 1904].

  1. Не существует ретракции \(n\)-мерного шара \(B^n\) на его границу \(\partial B^n = S^{n-1}\). Иными словами, не существует непрерывного отображения \(f : B^n \to S^{n-1}\), ограничение которого на \(S^n\) — тождественное отображение.
  2. Если непрерывное векторное поле \(v : B^n \to \mathbb{R}^n\) нигде не обнуляется, то найдётся точка \(x \in S^{n-1}\), в которой \(v(x) = Nx\) для некоторого \(N < 0\).

Первая часть теоремы Боля, часто приписываемая Борсуку, сегодня очевидна любому топологу — её просто получить при помощи гомологических или гомотопических методов. Оригинальное доказательство Боля — аналитическое. Я приведу традиционное для нас комбинаторно доказательство через версию леммы ККМ.

Доказательство.

  1. При помощи гомеоморфной замены координат перейдём от шара к симплексу \(\triangle^n = \{ x \in \mathbb{R}^{n+1} : x_i \ge 0, \sum_i x_i = 1\}\). Предположит, ретракция \(f : \triangle^n \to \partial \triangle^n\) нашлась. Покроем симплекс следующими замкнутыми множествами \(C_0, \ldots, C_n\): множество \(C_i\) положим равным прообразу \(i\)-й гиперграни при ретракции, то есть \[ C_i = f^{-1}(\{x_i = 0\}). \] Множества \(C_i\) удовлетворяют “двойственной” версии условия ККМ: \(i\)-я гипергрань покрыта множеством \(C_i\). Если мы рассмотрим дополнения \(U_i = \triangle^n \setminus C_i\), то они удовлетворяют уже обычному условию ККМ, поэтому \(U_i\) либо не покрывают симпплекс, либо пересекаются в одной точке. Ни то, ни другое невозможно, так как \(C_i\) образуют замкнутое покрытие симплекса кратности ровно \(n\).
  2. Предположим, такое поле \(v : B^n \to \mathbb{R}^n\) нашлось, и в одной точке границы оно не направлено к центру шара. Доопределим \(v\) на шар удвоенного радиуса \(2B^n\) следующим образом. Если \(x = ru\), \(1 < r \le 2\), \(u \in S^{n-1}\), то положим \(v(x) = (2-r)v(u) + (r-1)u\). Легко видеть, что это поле всё ещё непрерывно, нигде не обнуляется, и на границе совпадает с полем внешних нормалей. Такого не может быть в силу первой части теоремы; действительно, иначе отображение \(x \mapsto 2v(x)/|v(x)|\) определяет ретракцию шара \(2B^n\) на его границу. \(\square\)

Легко проверить, что вторая часть теоремы легко влечёт теорему Пуанкаре–Миранды. Более того, очень коротко из теоремы Боля можно вывести и саму теорему о неподвижной точке.

Вывод теоремы Брауэра из теоремы Боля. Если \(f: B^n \to B^n\) — отображение без неподвижных точек, то отображение \(x \mapsto x - f(x)\) противоречит второй теореме Боля. \(\square\)

1910 Лёйтзен Брауэр доказывает свою знаменитую теорему (трёхмерный случай он доказал годом ранее), опубликована она будет в 1912 г. Доказательство Брауэра — первое неаналитическое рассуждение в этой области. До Брауэра все аргументы основывались на приближении непрерывного отображения гладким и применении рассуждений типа теоремы Стокса. Жак Адамар знал о результате Брауэра из переписки с ним, и тоже придумал доказательство в 1910 г. В серии работ 1910-1913 гг. Брауэр закладывает основы комбинаторной топологии (симплициальное приближение + гомотопические методы) и теории размерности (лемма о покрытиях). Среди прочего, он доказывает теорему об инвариантности области (более общую, чем теорема об инвариантности размерности —7—).

Теорема об инвариантности области [Brouwer, 1912]. Пусть \(U \subset \mathbb{R}^n\) — открытое множество, и \(f : U \to \mathbb{R}^n\) — инъективное непрерывное отображение. Тогда образ \(f(U)\) является открытым подмножеством в \(\mathbb{R}^n\), и обратное отображение \(f^{-1}: f(U) \to U\) также непрерывно.

Доказательство я не привожу, его можно прочитать по ссылкам внизу.

1928 Эмануэль Шпернер приводит комбинаторное доказательство инвариантности области с использованием своей леммы о раскрашенной триангуляции, пропуская при этом теорему о неподвижной точке.

1929 Бронислав Кнастер, Казимеж Куратовский и Стефан Мазуркевич замечают, что теорему о неподвижной точке можно вывести из леммы Шпернера (и на этом пути вводят свою лемму).

1930 Юлиуш Шаудер публикует первое обобщение теоремы о неподвижной точке на бесконечномерный случай. Теорема Шаудера покрывает случай банаховых пространств, а в 1935 г. выходит работа Тихонова для случая локально выпуклых топологических векторных пространств.

1941 Сидзуо Какутани доказывает множественнозначный аналог теоремы Брауэра, более всего известный тем, что Джон Нэш вывел из него теорему о существовании равновесия в смешанных стратегиях, принесшую ему нобелевскую премию. Из теоремы Какутани также нетрудно вывести более раннюю теорему фон Неймана о минимаксе. Эта теорема широко используется в оптимизации (например, для доказательства двойственности линейного программирования), а также в матэкономике (равновесия для игр с нулевой суммой).

1948 Джон Нэш переоткрывает игру гекс и сообщает Дэвиду Гейлу (но не публикует) своё доказательство леммы о ничьей.

В этот момент я усилием воли завершаю это список, хотя продолжать его можно бесконечно.

—Ссылки—