—Тезисы—

Многогранником в еквлидовом пространстве называется ограниченное множество с непустой внутренностью, заданное как пересечение конечного количества полупространств. Гранью многогранника называется пересечение многогранника с опорной гиперплоскостью; размерность грани есть размерность её аффинной оболочки. Сам многогранник считается своей гранью размерности \(n\). Флагом многогранника называется вложенная цепочка граней всех размерностей \(F_0 \subset F_1 \subset \ldots \subset F_n\). Правильным называется многогранник, группа симметрий которого действует на флагах транзитивно (любой флаг можно перевести в любой посредством самосовмещения многогранника).

Теорема. Группа симметрий правильного многогранника — конечная группа отражений со схемой Кокстера без вершин степени 3. Полный список групп симметрий и соответствующих многогранников таков:

  • группа \(A_n\) — симплекс;
  • группа \(B_n\) — куб/кроссполитоп;
  • группа \(F_4\) — 24-ячейник;
  • группа \(G_2^{(m)}\) — \(m\)-угольник;
  • группа \(H_3\) — икосаэдр/додекаэдр;
  • группа \(H_4\) — 120-/600-ячейник.

—Cсылки—