—Тезисы—
Пермутоэдром \(P_{n-1}\) называется многогранник в \(\{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^{n} ~\vert~ \sum x_i = n(n-1)/2\} \cong \mathbb{R}^{n-1}\), заданный как
- выпуклая оболочка точек, получаемых из \((0,1,\ldots,n-1)\) всевозможными перестановками координат;
- или многогранник Ньютона вандермондовского детерминанта \(\det (x_i^{j-1})_{i,j=1}^n\);
- или сумма Минковского рёбер симплекса \(\{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^{n} ~\vert~ x_i \ge 0, \sum x_i = 1\}\);
- или ячейка Вороного решётки \(A_{n-1}^*\) (см. задачи).
Теорема. \((n-1)\)-мерный объём \(P_{n-1}\) равен \(n^{n-3/2}\).
Набросок доказательства. Пермутоэдр является графическим зонотопом, то есть он представим в виде суммы Минковского \[ Z_G = \sum\limits_{(i,j) \in E(G)} [e_i, e_j], \] где \(G\) — клика на \(n\) вершинах. Зонотоп можно разрезать на параллелепипеды, которые представляют собой суммы Минковского \((n-1)\) рёбер, не лежащих в одной гиперплоскости. В нашем случае все они имеют объём \(\sqrt{n}\). Параллелепипеды разбиения графического зонотопа отождествляются с остовными деревьями в \(G\), а в клике их \(n^{n-2}\), что легко вывести из матричной теоремы Кирхгофа. \(\square\)
Отображение моментов на многообразии флагов может быть описано простыми словами следующим образом. Каждой эрмитовой матрице \(A\) c фиксированным спектром (набором собственных чисел) \(\lambda_1 \le \ldots \le \lambda_n\) сопоставим её диагональ: \[ A = (a_{ij})_{i,j=1}^n \overset{\mu}\mapsto (a_{11}, \ldots, a_{nn}). \]
Теорема [Schur, 1923; Horn, 1954]. Образ \(\mu\) — выпуклая оболочка точек, получаемых из \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) всевозможными перестановками координат.
—Cсылки—
- A. Postnikov, Permutohedra, associahedra, and beyond. International Mathematics Research Notices (2009).
- А. Айзенберг, Пространства матриц и выпуклые многогранники.