—Тезисы—

Высотой перестановки \(\sigma \in S_n\) назовём число её инверсий, то есть пар \(i<j\) таких, что \(\sigma(i) > \sigma(j)\). Если \(w\) и \(w’\) отличаются домножением на одну простую транспозицию справа, то в зависимости от того, у какой из них высота больше, мы пишем либо \(w < w’\), либо \(w’ < w\). Транзитивное замыкание этого отношения есть (слабый) порядок Брюа на перестановках.

Проводная диаграмма перестановки \(\sigma \in S_n\) — то же самое, что представление \(\sigma\) в виде кратчайшего произведения простых транспозиций (длины равной числу инверсий), с точностью до перестановки коммутирующих сомножителей. Другими словами, проводная диаграмма — это цепочка перестановок в порядке Брюа \(\mbox{id} < \ldots < \sigma\) с точностью до коммутационных соотношений. Флип проводной диаграммы — кокстеровский, то есть замена \(s_i s_{i+1} s_i \leftrightarrow s_{i+1} s_i s_{i+1}\).

Проводные диаграммы самой высокой перестановки \(\sigma(i) = n+1-i\) отождествляются в замощениями правильного \(2n\)-угольника ромбами. Флипы диаграмм соответствуют переключениями между двумя способами замостить шестиугольник (про них удобно думать как про изображения трёх верхних или трёх нижних граней куба, спроецированного в шестиугольник).

Провода и ромбы

Замощения многоугольника ромбами обобщаются на старшие размерности как зонотопальные разбиения. Зонотоп \(Z_V \subset \mathbb{R}^d\), построенный по системе векторов \(V = \{v_1, \ldots, v_n\} \subset \mathbb{R}^d\) общего положения (любые \(d\) линейно независимы), есть сумма Минковского отрезков \([0,v_i]\). Иными словами, если определить линейную проекцию \(p : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^d\), переводящую \(i\)-й базисный вектор в \(v_i\), то \(Z_V = p([0,1]^n)\). Поэтому говорят, что зонотоп — аффинный образ куба. Зонотоп \(Z_V\) разбивается (многими способами) на параллелепипеды, представляемые как сумма \(d\) отрезков, взятых среди \([0,v_i]\). Заметим что грани куба \([0,1]^n\) нумеруются тройками \(X^+ \sqcup X^- \sqcup X^0 = [n]\), которые мы называем знаковыми множествами, через уравнения \(x_i = 0\), если \(i \in X^-\); \(x_i = 1\), если \(i \in X^+\); \(x_i \in [0,1]\), если \(i \in X^0\). Тайлом, отвечающим знаковому множеству \(X = (X^+, X^-, X^0)\) назовём образ соответствующей грани под действием \(p\): \[ \tau_X = \sum_{i \in X^+} v_i + \sum_{i \in X^0} [0,v_i]. \]

Набор тайлов \(\tau_X\), \(X \in T\), образует зонотопальное разбиение \(Z_V\), если

Если дополнительно выполнено \(|X^0| \le d\) для всех \(X \in T\), то разбиение мелкое (по сути, разрезание на параллелепипеды). Более концептуальное определение мелкого разбиения: это \(d\)-мерный комплекс \(Q \subset [0,1]^n\), который гомеоморфно проецируется на \(Z_V\) отображением \(p\).

Зонотопальное разбиение ромбододекаедра

Лемма. Для любого мелкого разбиения \(T\) и любого \(X^0 \subset [n]\), \(|X^0| = d\), в разбиении присутствует тайл “направления” \(X^0\).

Набросок доказательства. Если нет, то можно проткнуть куб \((n-d)\)-мерным подпространством \(L\), ортогональным граням направления \(X^0\). Оно не пересекает \(Q\), хотя должно, потому что зацеплено с \(p^{-1}(\partial Z_V)\), а \(Q\) — топологический \(d\)-диск, натянутый на сферу \(p^{-1}(\partial Z_V)\). \(\square\)

Флипы на множестве мелких зонотопальных разбиений \(Z_V\) определяются следующим образом. Рассмотрим комплексы \(Q\) и \(Q’\), которые гомеоморфно проецируются на \(Z_V\), и предположим, что их \(\mathbb{Z}/2\)-сумма (симметрическая разность) ограничивает \((d+1)\)-мерный кубик в \([0,1]^n\). Тогда соответствующие разбиения отличаются флипом. Геометрически это выглядит так: \((d+1)\)-куб проецируется в некий многогранник внутри \(Z_V\) (шестиугольник при \(d=2\), ромбододекаэдр при \(d=3\)), который разбивается на параллелепипеды ровно двумя способами; переход между ними и есть флип.

—Cсылки—