—Тезисы—

Пусть \(V\) — вещественное векторное пространство размерности \(n\) со скалярным произведением \(\langle \cdot,\cdot\rangle\). Для ненулевого вектора \(\alpha \in V\) отражение в “зеркале” \(H_\alpha = \{x \in V ~\vert~ \langle x,\alpha\rangle = 0\}\) определяется как \(s_\alpha : V \to V\), \(s_\alpha(x) = x - 2\frac{\langle x,\alpha\rangle}{\langle \alpha,\alpha\rangle}\alpha\).

Конечной группой отражений называется дискретная подгруппа группы движений \(V\), порождённая отражениями.

Приведём примеры важных семейств групп отражений. Пусть в \(V\) фиксирован ортонормированный базис \(e_1, \ldots, e_n\).

  1. \(A_{n-1}\) порождается отражениями \(s_{e_i - e_j}\). По сути это просто группа \(S_n\) перестановок координат. Естественно ограничить действие этой группы отражений на гиперплоскость \(\langle e_1 + \ldots + e_n\rangle^\bot\), инвариантную относительно всех отражений.

  2. \(B_{n}\) порождается отражениями \(s_{e_i - e_j}\) и \(s_{e_i}\). Эта группа изоморфна полупрямому произведению \(S_n\) (той же, что и в предыдущем примере) и \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n\) (порождённой отражениями в координатных гиперплоскостях, то есть произвольными заменами знаков координат).

  3. \(D_{n}\) порождается отражениями \(s_{e_i - e_j}\) и \(s_{e_i+e_j}\). Это подгруппа индекса 2 в \(B_n\), порождённая перестановками координат и заменами знаков у чётного числа координат.

—Cсылки—