—Тезисы—
Помимо линейных отражений (в зеркалах, проходящих через начало координат) можно рассматривать и аффинные отражения (в зеркалах, не обязательно проходящих через начало координат). По аналогии с конечным случаем, аффинной группой отражений называется дискретная подгруппа группы движений пространства V, порождённая (аффинными) отражениями. И в конечном, и в аффинном случае верна следующая теорема.
Теорема [Coxeter, 1934]. Группа отражений W есть группа Кокстера, то есть может быть задана образующими s1,s2,… и соотношениями (sisj)mij=id. Здесь mii=1, mij=mji∈{2,3,4,…}∪{∞}; если mij=∞, соответствующее соотношение просто опущено.
Доказательство рассматривает камеры Вейля, то есть замкнутые множества, на которые пространство V разрезается зеркалами. Если зафиксировать фундаментальную камеру C0, то можно показать, что элементы группы отражений однозначно сопоставляются камерам по правилу (элемент w∈W) ↔ (камера wC0).
—Cсылки—
- J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge university press (1990).
- О. Шварцман, Группы отражений и группы Кокстера Математическое просвещение (2003).
- Э. Винберг, Калейдоскопы и группы отражений. Математическое просвещение (2003).