Группы Кокстера

• Видео
• Доска

—Тезисы—

Помимо линейных отражений (в зеркалах, проходящих через начало координат) можно рассматривать и аффинные отражения (в зеркалах, не обязательно проходящих через начало координат). По аналогии с конечным случаем, аффинной группой отражений называется дискретная подгруппа группы движений пространства $V$, порождённая (аффинными) отражениями. И в конечном, и в аффинном случае верна следующая теорема.

Теорема [Coxeter, 1934]. Группа отражений $W$ есть группа Кокстера, то есть может быть задана образующими $s_1, s_2, \ldots$ и соотношениями $(s_i s_j)^{m_{ij}} = \text{id}$. Здесь $m_{ii=1}$, $m_{ij} = m_{ji} \in \{2,3,4,\ldots\} \cup \{\infty\}$; если $m_{ij} = \infty$, соответствующее соотношение просто опущено.

Доказательство рассматривает камеры Вейля, то есть замкнутые множества, на которые пространство $V$ разрезается зеркалами. Если зафиксировать фундаментальную камеру $C_0$, то можно показать, что элементы группы отражений однозначно сопоставляются камерам по правилу (элемент $w \in W$) $\leftrightarrow$ (камера $wC_0$).

—Cсылки—

• J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge university press (1990).
• О. Шварцман, Группы отражений и группы Кокстера Математическое просвещение (2003).
• Э. Винберг, Калейдоскопы и группы отражений. Математическое просвещение (2003).