—Тезисы—

Помимо линейных отражений (в зеркалах, проходящих через начало координат) можно рассматривать и аффинные отражения (в зеркалах, не обязательно проходящих через начало координат). По аналогии с конечным случаем, аффинной группой отражений называется дискретная подгруппа группы движений пространства \(V\), порождённая (аффинными) отражениями. И в конечном, и в аффинном случае верна следующая теорема.

Теорема [Coxeter, 1934]. Группа отражений \(W\) есть группа Кокстера, то есть может быть задана образующими \(s_1, s_2, \ldots\) и соотношениями \((s_i s_j)^{m_{ij}} = \text{id}\). Здесь \(m_{ii=1}\), \(m_{ij} = m_{ji} \in \{2,3,4,\ldots\} \cup \{\infty\}\); если \(m_{ij} = \infty\), соответствующее соотношение просто опущено.

Доказательство рассматривает камеры Вейля, то есть замкнутые множества, на которые пространство \(V\) разрезается зеркалами. Если зафиксировать фундаментальную камеру \(C_0\), то можно показать, что элементы группы отражений однозначно сопоставляются камерам по правилу (элемент \(w \in W\)) \(\leftrightarrow\) (камера \(wC_0\)).

—Cсылки—