—Тезисы—
Системой корней называется конечный набор векторов \(\Phi \subset V\), такой что
- \(V\) порождается векторами из \(\Phi\);
- \(\forall \alpha \in \Phi \; \; \langle \alpha \rangle \cap \Phi = \{\alpha, -\alpha\}\);
- \(\forall \alpha \in \Phi \; \; s_\alpha \Phi = \Phi\).
Имея конечную группу отражений, мы можем построить систему корней из единичных нормалей ко всем зеркалам этой группы. Система корней может быть коротко описана в терминах одного специального базиса. Обозначим через \(\Delta \subset \Phi\) множество внутренних нормалей фундаментальной камеры Вейля. Корни из \(\Delta\) называются простыми.
Теорема.
- Никакие два различных простых корня не образуют острый угол.
- Простые корни образуют базис пространства \(V\).
- Коэффициенты разложения любой корня \(\alpha \in \Phi\) по этому базису либо все неотрицательны, либо все неположительны.
Вся информация о группе отражений зашита в матрице Грама системы простых корней. Условие её положительной определённости является ключевым для классификации групп отражений. Элементы матрицы Грама принимают небольшое количество возможных значений, что позволяет коротко закодировать её комбинаторно.
Схемой Кокстера системы простых корней \(\Delta = \{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}\) называется граф на \(n\) вершинах с отметками на некоторых рёбрах, построенный по следующим правилам:
- ребро между вершинами \(i\) и \(j\) не проведено, если \(\langle \alpha_i, \alpha_j \rangle = 0\);
- ребро между вершинами \(i\) и \(j\) проведено без отметки, если \(\langle \alpha_i, \alpha_j \rangle = -1/2\);
- ребро между вершинами \(i\) и \(j\) проведено с отметкой \(m\), если \(\langle \alpha_i, \alpha_j \rangle = -\cos(\pi/m)\), \(m \ge 4\).
—Cсылки—
- J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge university press (1990).
- Е. Смирнов, Группы отражений и правильные многогранники. МЦНМО (2018).