Классификация конечных групп отражений

• Видео
• Доска

—Тезисы—

Теорема. Всевозможные связные схемы Кокстера конечных групп отражений перечислены ниже:

(Двойное ребро обозначает отметку 4, тройное — 5. В строчке с $G_2^{(m)}$ опечатка, $m$ может быть также равно пяти, и такую группу можно назвать и $H_2$).)

Системы корней (и группы) $A_n, B_n, D_n$ были описаны ранее. Группы $G_2^{(m)}$ — диэдральные. Системы корней $F_4, H_4$ можно построить как прообразы групп вращений куба и икосаэдра при двулистном накрытии $\operatorname{Sp}(1) \to \operatorname{SO}(3)$, которое представляет вращения через единичные кватернионы. Полученные прообразы в $\operatorname{Sp}(1)$ оказываются системами корней в четырёхмерном пространстве кватернионов и порождают группы отражений. Группа $H_3$ — группа симметрий икосаэдра, а также подгруппа в $H_4$. Группа $E_8$ соответствует системе корней, состоящей из кратчайших ненулевых векторов решётки $E_8$ — наименьшей восьмимерной решётки, содержащей вектора из $\mathbb{Z}^8$ с чётной суммой координат, а также вектор $(\frac12, \frac12, \ldots, \frac12)$. Группы $E_6$ и $E_7$ — подгруппы в $E_8$.

—Cсылки—

• J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge university press (1990).
• В. Бугаенко, Классификация многогранников Кокстера Математическое просвещение (2003).
• Е. Смирнов, Группы отражений и правильные многогранники. МЦНМО (2018).