Неравенство Безиковича

17 Mar 2023

Неравенство Безиковича

Теорема [Besicovitch, 1952]. Пусть $g$ — риманова метрика на квадрате, относительно которой расстояния между противоположными сторонами квадрата не меньше $1$. Тогда его риманова площадь не меньше $1/2$.

Доказательство. Пусть $\square$ — наш квадрат, и пусть $A, B, A’, B’$ — его стороны ($A$ и $A’$ противоположны). Рассмотрим липшицевы функции $f_A, f_B: \square \to [0,1]$, определяемые по формулам:

\[f_A(x) = \min(1, \text{dist}(x,A)), \quad f_B(x) = \min(1, \text{dist}(x,B)).\]

Соберём из них отображение $F = (f_A, f_B) : \square \to [0,1]^2$, действует из риманова квадрата $\square$ с метрикой $g$ в стандартный квадрат $[0,1]^2$ с евклидовой метрикой $g_0$. Доказательство теоремы собирается из пары наблюдений.

Наблюдение 1. Отображение $F$ отправляет сторону квадрата $\square$ в соответствующую сторону квадрата $[0,1]^2$. Например, если $x \in A’$, то $f_A(x) = 1$ и $F(x) \in \{1\} \times [0,1]$. Отсюда можно вывести, используя свойства степени отображения (см. в записках 2021 г.), что $F$ сюръективно.

Наблюдение 2. Отображение $F$ $\sqrt{2}$-липшицево:

\[|F(x) - F(y)|^2 \le (\text{dist}(x,A) - \text{dist}(y,A))^2 + (\text{dist}(x,B) - \text{dist}(y,B))^2 \le 2 \text{dist}(x,y)^2.\]

Так как отображение $F$ растягивает длины не более чем в $\sqrt{2}$ раз, то оно растягивает площади не более чем в $2$ раза. По формуле площади имеем:

\[1 = \text{area} ([0,1]^2, g_0) = \text{area} (F(\square), g_0) \le \int_{(\square, g)} |\text{Jac } F| \le \int_{(\square, g)} 2 = 2 \text{ area} (\square, g).\]

\(\square\)

Замечание. На самом деле можно показать, что отображение $F$ $1$-липшицево, исследуя его якобиан в гладких точках. Из такого рассуждения будет следовать, что площадь квадрата не меньше $1$. Именно в таком (к слову, неулучшаемом) виде теорема была доказана самим Безиковичем.

Сепараторы на двумерной сфере

Неравенство Безиковича можно применить, чтобы передоказать теорему Лёвнера элементарно (без униформизации), заплатив за это тем неоптимальным множителем (задача 5). Здесь мы обсудим другое приложение неравенства Безиковича.

Пусть на двумерной сфере $S^2$ выбрана риманова метрика $g$. Сепаратором назовём (липшицеву) несамопересекающуюся петлю $\gamma$ на сфере, делящую сферу на области площади не более $\frac34 \text{area}(S^2,g)$.

Теорема. На римановой сфере $(S^2,g)$ существует сепаратор длины менее $5 \sqrt{\text{area}(S^2,g)}$.

(Я не знаю, кому принадлежит эта теорема, но в среде метрических геометров она фольклорная.)

Доказательство. Перенормируем метрику и будем считать, что $\text{area}(S^2,g) = 1$. Наивная идея: выбрать кратчайший сепаратор $\gamma$ и проверить, что его длина не превосходит $5$. Проблема в том, что хоть из последовательности сепараторов и можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (более-менее по теореме Арцела–Асколи), предел может оказаться самопересекающимся; поэтому мы постараемся обойти эту проблему, выбирая $\gamma$ почти кратчайшим. А именно, зафиксируем очень маленькое число $\epsilon > 0$ и выберем сепаратор $\gamma$ длины $\ell = \text{len } \gamma < \ell_0 + \epsilon$, где $\ell_0$ — инфимум длин сепараторов.

Поделим его на четыре части равной длины $\ell/4$ точками $K,L,M,N$, и рассмотрим ту из двух областей, ограниченных $\gamma$, которая имеет площадь $\alpha \in [\frac12, \frac 34]$. Обозначим эту область $D$, и предположим, что в рамках этой области есть путь от стороны $KL$ к стороне $MN$ длины меньше $\ell/4 - \epsilon$. Можно считать, что он пересекает $\gamma$ только в конечных точках (иначе можно его чуточку пошевелить, чтобы отвести от $\gamma$, и при этом его длина останется меньше $\ell/4 - \epsilon$). Тогда этот путь разрезает $D$ на две части, бóльшая из которых имеет площадь $\in [\alpha/2, \alpha] \subset [\frac14, \frac 34]$ и длину границы $< (\ell/4 - \epsilon) + 3\ell/4 < \ell_0$. Такого быть не может, потому что нету сепараторов длины $< \ell_0$. Значит, расстояние между $KL$ и $MN$ внутри $D$ хотя бы $\ell/4 - \epsilon$; аналогично, расстояние от между $LM$ и $NK$ тоже хотя бы $\ell/4 - \epsilon$. Неравенство Безиковича влечёт, что \(\frac34 \ge \alpha = \text{area } D \ge \frac12 (\ell/4 - \epsilon)^2.\) Из этого неравенства, взятого при достаточно малом $\epsilon$, следует, что $\ell < 5$. \(\square\)

Замечание. Пространство сепараторов не является компактным в том виде, в каком я их определил здесь (с требованием, что сепаратор не может самопересекаться). Однако его замыкание компактно (более-менее по теореме Арцела–Асколи), и можно найти кратчайшую петлю в его замыкании. В доказательстве выше можно избежать эпсилонов, если рассмотреть такую (возможно, самопересекающуюся) петлю, и адаптировать лемму Безиковича под неё.

Только что доказанную теорему можно использовать, чтобы передоказать теорему Липтона–Тарьяна (задача 6).

Cсылки