Теорема Гута о поперечнике
Ларри Гут установил связь между объёмом риманова многообразия и его поперечником, разрешив гипотезу Громова.
Теорема [Guth, 2017]. Существует константа $c_n$, зависящая только от размерности, такая что для любого $n$-мерного компактного риманова многообразия $M$ выполнено \(\text{UW}_{n-1}(M) \le c_n \sqrt[n]{\text{vol } M}.\)
Вместе с леммой Громова, связывающей систолу с поперечником, эта теорема влечёт неравенство, изначально доказанное Громовым (1983) иначе.
Следствие (систолическое неравенство Громова). Существует константа $c_n$, зависящая только от размерности, такая что для любой римановой метрики на существенном $n$-мерном компактном римановом многообразии $M$ выполнено \(\text{sys }M \le c_n \sqrt[n]{\text{vol } M}.\)
Мы докажем теорему Гута в большей общности для пространств, более общих, чем многообразия.
Римановы полиэдры
Комбинаторным симплициальным комплексом $K$ называется непустой набор подмножеств конечного множества, замкнутый относительно взятия подмножества. Множество $f \in K$ называется гранью размерности $# F - 1$. Геометрическим симплициальным комплексом называется топологическое пространство, склеенное из симплексов типа
\[\triangle^d = \{(x_0, \ldots, x_d) \in \mathbb{R}^{d+1} ~\vert~ x_0, \ldots, x_d \ge 0; \sum_i x_i = 1\}\]согласно “чертежу” $K$: каждой грани $F \in K$ сопоставляется копия симплекса $\triangle^{# F - 1}$, и эти симплексы склеиваются друг с другом согласно тому как они пересекаются в $K$.
Риманов полиэдр размерности $n$ — пространство, определяемое следующим набором данных.
- геометрический симплициальный комплекс, такой что
- каждая грань содержится в грани размерности $n$;
- на каждой грани задана риманова метрика;
- для любой пары пересекающихся граней их римановы метрики согласованы на пересечении граней.
Для связного риманова полиэдра расстояние между двумя точками определяется, как и ранее, через инфимум длин всех кусочно гладких кривых, соединяющих данные точки; кусочная гладкость кривой подразумевает, что пересечение кривой с любой $n$-гранью полиэдра распадается в конечное объединение кусочно гладких кривых. Все объёмы и интегралы на полиэдре определяются как суммы объёмов и интегралов по всем $n$-граням.
Подполиэдр $N$ риманова полиэдра $M$ — замкнутое подмножество $M$, которое само является полиэдром, так что симплициальная структура $N$ подчинена симплициальной структуре $M$ (любой старший симплекс $N$ лежит в каком-то симплексе $M$), и риманова метрика на гранях $N$ наследуется из $M$.
Мы будем использовать следующие стандартные факты про функции на полиэдрах, которые следуют из соответствующих фактов про функции на области евклидова пространства. Пусть $M$ — $n$-мерный риманов полиэдр.
- Любая 1-липшицева функция $f: M \to \mathbb{R}$ может быть приближена сколь угодно близко кусочно гладкой 1-липшицевой функцией.
- (Теорема Сарда) Если $f: M \to \mathbb{R}$ — кусочно гладкая, то для почти всех $a \in f(M)$ прообраз $f^{-1}(M)$ — риманов подполиэдр размерности $n-1$.
- (Следствие из 2 + неравенства коплощади) Если $f: M \to \mathbb{R}$ — кусочно гладкая и 1-липшицева, то \(\int_a^b \text{vol}_{n-1} (f^{-1}(t)) \; dt \le \text{vol}_n (f^{-1}([a,b])).\) В частности, существует $t \in [a,b]$ такое, что $f^{-1}(t)$ — подполиэдр объёма не более $\frac{\text{vol}_n (f^{-1}([a,b]))}{b-a}$.
Теорема о макроскопической скалярной кривизне
Вместо теоремы о поперечнике мы будем доказывать следующее более сильное утверждение.
Теорема [Guth, 2017]. Существует константа $\epsilon_n$, зависящая только от размерности, такая что для любого выполнено следующее. Любой $n$-мерный риманов полиэдр $M$, в котором все единичные шары имеют маленький объём — $\forall p \in M \; \text{vol}_n B_1(p) \le \epsilon_n$, — также имеет и контролируемый поперечник $\text{UW}_{n-1}(M) \le 2$.
Вывод теоремы о поперечнике из теоремы о макроскопической скалярной кривизне. Пусть $\text{vol}_n M = V$; перемасштабируем метрику на $M$ путём умножения её на малое число $\alpha$; полученное риманово многообразие будем называть $\alpha M$. Выберем $\alpha = \sqrt[n]{\epsilon_n/V}$ (где $\epsilon_n$ берётся из теоремы о макроскопической кривизне), так что $\text{vol}_n \alpha M = \alpha^n V = \epsilon_n$. Тогда $\forall p \in \alpha M \; \text{vol}_n B_1^{\alpha M}(p) \le \text{vol}_n \alpha M = \epsilon_n$, и поэтому
\(\text{UW}_{n-1}(M) = \frac{1}{\alpha} \text{UW}_{n-1}(\alpha M) \le \frac{2}{\alpha} = \underbrace{\frac{2}{\sqrt[n]{\epsilon_n}}}_{c_n} \sqrt[n]{\text{vol}_n M}.\) \(\square\)
Доказательство, которое мы разберём, принадлежит Паносу Папасоглу, и его идея восходит к трюку Шейна–Яу из 70х. Назовём подполиэдр $\Sigma^{n-1} \subset M^n$ $r$-разделяющим, если каждая связная компонента $M \setminus \Sigma$ может быть накрыта открытым шаром радиуса $r$ в $M$. Легко видеть, что такие полиэдры существуют. Если $V$ — инфимум $(n-1)$-мерных объёмов $r$-разделяющих полиэдров, то назовём $\Sigma$ $\delta$-минимальным, если $\text{vol}_{n-1} \Sigma < V + \delta$.
Доказательство теоремы Гута о макроскопической скалярной кривизне [Papasoglu 2020].
База индукции $n=1$. Пусть $M$ — одномерный риманов полиэдр, то есть граф с указанием длин рёбер. Положим $\epsilon_1 = 1$ и предположим, что $\forall p \in M \; \text{vol}_1 B_1(p) \le \epsilon_1 = 1$. Проверим, что $M$ распадается на компоненты связности диаметров $< 2$; отсюда будет следовать, что $\text{UW}_0 < 2$. Действительно, если есть две точки $p,q$ в одной компоненте связности, такие что кратчайшая кривая между ними имеет длину хотя бы $2$, то можно рассмотреть середину этой кривой, и единичный шар с центром в этой середине; его $1$-мерный объём должен быть хотя бы $2$, чего не может быть.
Переход индукции $n-1 \to n$. Пусть $M$ — $n$-мерный риманов полиэдр, в котором $\forall p \in M \; \text{vol}_n B_1(p) \le \epsilon_n$ (число $\epsilon_n$ подберём позже). Зафиксируем $\Sigma$ — $(n-1)$-мерный $\delta$-минимальный $1$-разделяющий полиэдр. Число $\delta$ подберём в зависимости от $\epsilon_{n-1}$, чтобы получилось применить главный трюк этого рассуждения, который мы выносим в лемму 1 ниже. Смысл этого трюка в том, что условие “единичные шары в $M$ маленькие” транслируется в похожее условие на $\Sigma$:
Так как внутренняя метрика $\Sigma$ мажорирует внешнюю, то шары во внутренней метрике $B_{1/2}^\Sigma(p)$ тоже имеют объём $\le \epsilon_{n-1} (1/2)^{n-1}$. Тогда по предположению индукции $\text{UW}_{n-2}(\Sigma) \le 1$, то есть $\Sigma$ можно покрыть открытыми (в $\Sigma$) множествами $U_i$ диаметров $< 2$ с кратностью $\le n-1$. Упражнение из общей топологии (лемма 2 ниже) показывает, что можно слегка модифицировать $U_i$, чтобы превратить их в множества $V_i$, открытые в $M$, диаметров $\le 2$, кратности $\le n-1$, и покрывающие $\Sigma$. Добавим к этому списку множеств компоненты связности $M \setminus \Sigma$, и получим покрытие, доказывающее, что $\text{UW}_{n-1} \le 2$. \(\square\)
Лемма 1. $\forall \epsilon_{n-1} \; \exists \epsilon_n \; \exists \delta$ такие, что для любого $\delta$-минимального $1$-разделяющего полиэдра $\Sigma \subset M$ выполнена импликация: если $\forall p \in M \; \text{vol}_n B_1(p) \le \epsilon_n$, то $\forall p \in \Sigma \; \text{vol}_{n-1} (B_{1/2}(p) \cap \Sigma) \le \epsilon_{n-1} (1/2)^{n-1}$.
Доказательство.
Положим $\epsilon_n = \epsilon_{n-1}/2^{n+1}$, $\delta = \epsilon_{n-1}/2^{n}$.
Предположим, неравенство $\text{vol}_{n-1} (B_{1/2}(p) \cap \Sigma) \le \epsilon_{n-1} (1/2)^{n-1}$ не соблюдается в точке $p \in \Sigma$. Так как $\text{vol}_n B_1(p) \le \epsilon_n$, то из стандартных фактов, обсуждавшихся выше (небольшое шевеление функции расстояния до точки $p$ + Сард + коплощадь), следует, что существует $\rho \in [1/2,1]$ для которого, во-первых, $S_\rho(p)$ (метрическая сфера радиуса $\rho$ в слегка пошевеленной функции расстояния) — подполиэдр, а во-вторых, $\text{vol}_{n-1} S_\rho(p) \le 2 \epsilon_n = \epsilon_{n-1} / 2^n$.
Заменим $\Sigma$ на $\Sigma’ = (\Sigma \setminus B_\rho(p)) \cup S_{\rho}(p)$. Заметим, что $\Sigma’$ — тоже $1$-разделяющий полиэдр. Однако его объём меньше минимально возможного:
\(\square\)
Лемма 2. Пусть замкнутое подмножество $\Sigma$ метрического компакта $M$ покрыто множествами $U_i \subset \Sigma$ — открытыми в $\Sigma$, диаметров $< 2$, кратности $\le n-1$. Тогда существуют множества $V_i \subset M$ — открытые в $M$, диаметров $\le 2$, кратности $\le n-1$ и покрывающие $\Sigma$.
Доказательство.
Первый шаг — сдуть $U_i$ до замкнутых множеств $C_i = \{x \in U_i ~\vert~ B_\epsilon(x) \cap \Sigma \subset U_i\}$, где в качестве $\epsilon$ можно взять число Лебега покрытия $\bigcup U_i$, то есть $\epsilon = \min\limits_{x \in \Sigma} \max\limits_i \text{dist}(x, \Sigma \setminus U_i) > 0$. Эти множества $C_i$ всё ещё покрывают $\Sigma$.
Второй шаг — раздуть $C_i$ в $M$ до открытых множеств $V_i$ — $\alpha$-окрестностей $C_i$ в $M$. При этом $\alpha$ нужно взять малым, чтобы, во-первых, диаметры $V_i$ были $\le 2$, а во-вторых, чтобы кратность их пересечений не выросла по сравнению с $C_i$. Для выполнения последнего условия достаточно, чтобы для любых $i_1 < \dots < i_n$ было верно
\(\square\)
Cсылки
- M. Gromov, Filling Riemannian manifolds. Journal of Differential Geometry (1983).
- L. Guth, Volumes of balls in Riemannian manifolds and Uryson width. Journal of Topology and Analysis (2017).
- P. Papasoglu, Uryson width and volume. Geometric and Functional Analysis (2020).
- A. Petrunin, Lectures on metric geometry. Chapter III: Metric geometry on manifolds.